Съвършен паралелепипед

Съвършен паралелепипед или перфектен кубоид се нарича правоъгълен паралелепипед, в който всичките седем основни величини (три ръба, диагонали на стените и телесен диагонал) са цели числа.^[1] С други думи, перфектният кубоид е решение на системата от следните диофантови уравнения в цели числа:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}

Компютърният анализ показва, че ако съществува съвършен паралелепипед:

най-малкият ръб трябва да е по-голям от 5 × 10¹¹. ^[2]
нечетният ръб трябва да е по-голям от 2,5 × 10¹³. ^[2]
пространственият диагонал g трябва да бъде по-голям от 9 × 10¹⁵. ^[3]

През 2005 г. студентът Лаша Маргишвили от Тбилиси е предложил доказателство, че целочислен кубоид не съществува, но към 2009 г. работата още не е проверена от независими учени.^[4]^[5]

От септември 2017 г. проектът за разпределени изчислителни системи yoyo@home ^[6] започна да търси съвършен паралелепипед. Стартира подпроектът Perfect Cuboid, който се занимава с намирането на правоъгълни паралелепипеди в естествени числа: Perfect, Edge, Face (цяло), както и някои видове паралелепипеди в комплексни числа (Perfect Complex, Imaginary и Twilight). От октомври 2018 г. подпроектът гласи, че ако съществува съвършен паралелепипед, неговият пространствен диагонал трябва да бъде по-голям от 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. ^[3]

Все още не е известно дали съществува такъв паралелепипед. До март 2020 г. компютърното търсене не е намерило нито един съвършен паралелепипед с ръбове до 2,5.10¹³. ^[1]^[7]^[8].

Въпросът за съществуването на съвършен паралелепипед е свързан с три хипотези за кубоидите – ако те са верни, то съвършен паралелепипед не съществува.

Свойства

Известни са някои факти за свойствата, които трябва да бъдат изпълнени от примитивен^[9] перфектен кубоид, ако такъв съществува, въз основа на модулна аритметика: ^[10]

Един ръб, два лицеви диагонала и пространственият диагонал трябва да са нечетни, един ръб и оставащият лицев диагонал трябва да се делят на 4, а оставащият ръб трябва да се дели на 16.
Два ръба трябва да имат дължина, делима на 3 и поне един от тези ръбове трябва да има дължина, делима на 9.
Дължината на единия ръб трябва да се дели на 5.
Дължината на един ръб трябва да се дели на 7.
Дължината на един ръб трябва да се дели на 11.
Единият ръб трябва да има дължина, кратна на 19.
Дължината на един ръб или междинен диагонал трябва да се дели на 13.
Дължината на един ръб, лицев диагонал или пространствения диагонал трябва да се дели на 17.
Дължината на един ръб, лицев диагонал или пространствения диагонал трябва да се дели на 29.
Дължината на един ръб, лицев диагонал или пространствения диагонал трябва да се дели на 37.

В допълнение:

Пространственият диагонал не е нито степен на просто число, нито продукт на две прости числа.^[11]^{:p. 579}
Диагоналът на пространството може да съдържа само прости делители, които са равни на 1 по модул 4.^[11]^{:p. 566}^[12]

Ако съществува идеален паралелепипед и $a,b,c$ са неговите ръбове, $d,e,f$ — съответните диагонали на лицето и $g$ е пространственият диагонал, тогава

Триъгълникът с дължини на страните $(d^{2},e^{2},f^{2})$ е Херонов триъгълник с площ $abcg$ с ъглополовящи на рационален ъгъл.^[13]
Остроъгълният триъгълник с дължини на страните $(af,be,cd)$ и тъпоъгълните триъгълници с дължини на страните $(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)$ са херонови триъгълници с площ, равна на ${\frac {abcg}{2}}$ .

Почти съвършени паралелепипеди

Правоъгълни паралелепипеди

Един почти съвършен правоъгълен паралелепипед (перфектен кубоид) има 6 от 7 дължини като рационални числа. Открити са няколко вида „почти съвършени“ правоъгълни паралелепипеди, в които всички величини са цели числа с изключение на една:^[14]

Почти съвършен ръбов паралелепипед, в който един от ръбовете е нецяло число. Най-малкият е с ръбове $(520,576,{\sqrt {618\,849}})$ , лицеви диагонали $(776,943,975)$ и пространствен диагонал $1105$ . Друг е с ръбове $(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121}},7800)$ .
Почти съвършен стенен паралелепипед – един от диагоналите на стените е нецяло число. Най-малкият е с ръбове $(104,153,672)$ , лицеви диагонали $(185,680,{\sqrt {474\,993}})$ и пространствен диагонал $697$ . Друг е с ръбове $(672,153,104)$ . Има безкрайно много такива кубоиди.
Почти съвършен пространствен паралелепипед – с нецелочислен пространствен диагонал. Нарича се още Ойлеров паралелепипед в чест на швейцарския математик Леонард Ойлер, който обсъжда този тип кубоид и предоставя примера с ръбове $(104,153,672)$ . ^[15]^[16] Известни са голям брой размери.

Към декември 2017 г. изчерпателното търсене преброява всички ръбови и стенни почти съвършени паралелепипеди с най-малък целочислен пространствен диагонал, по-малък от 1 125 899 906 842 624:
194 652 са ръбови и 350 778 са стенни паралелепипеди.^[3]

Към юли 2020 г. има открити 167 043 почти съвършени паралелепипеда с най-малко цяло число, по-малко от 200 000 000 027: 61 042 са Ойлерови паралелепипеди, 57 103 са стенни, 32 286 са ръбови и 16 612 са паралелепипеди с дължина на ръба комплексно число.^[17]

Наклонени паралелепипеди

Почти съвършен наклонен паралелепипед е този, в който всички линейни размери са цели числа, но не всички ъгли са прави. Той има целочислени дължини на ръбовете, лицевите диагонали и пространствения диагонал и поне един неправ ъгъл. Перфектният кубоид е специален случай на почти съвършен наклонен паралелепипед. През 2009 г. е доказано, че съществуват десетки почти съвършени наклонени паралелепипеди,^[18] отговаряйки на открит въпрос на Ричард Гай. Някои от тези паралелепипеди имат две правоъгълни лица. Най-малкият почти съвършен наклонен паралелепипед има ръбове $(271,106,103)$ ; къси лицеви диагонали $(101,266,255)$ ; дълги лицеви диагонали $(183,312,323)$ ; и диагонали на тялото $(374,300,278,272)$ .^[19]^[20]

Ойлеров паралелепипед

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.}

Правоъгълен паралелепипед, на който ръбовете, диагоналите на стените и пространственият (телесният) диагонал са цели числа, се нарича Ойлеров паралелепидед или „Ойлерова тухла“.

Дефиницията в геометрични термини е еквивалентна на решение на следната система от диофантови уравнения:

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}$

където a, b, c са ръбовете и d, e, f са диагоналите на стените (лицата).

Трите целочислени дължини на ръбовете и трите целочислени дължини на лицевите диагонали на паралелепипеда също могат да се интерпретират като дължини на ръбовете на Херонов тетраедър, който също е ортосхема на Шлефли. Има безкрайно много херонови ортосхеми.^[21]

Свойства

Ако (a, b, c) е решение, тогава (ka, kb, kc) също е решение за всяко k. Следователно, всички решения в рационални числа са премащабиране на цели числа.
При даден Ойлеров паралелепипед с дължини на ръбовете (a, b, c), тройката (bc, ac, ab) също представлява тухла на Ойлер.^[22]^{:c. 106}
Дължините на точно един ръб и два лицеви диагонала на примитивен Ойлеров паралелепипед са нечетни числа.^[22]^{:c. 106}
Дължините на поне два ръба на Ойлеровия паралелепипед се делят на 3. ^[22]^{:c. 106}
Дължините на поне два ръба на Ойлеровия паралелепипед се делят на 4. ^[22]^{:c. 106}
Дължината на поне един ръб на Ойлеровия паралелепипед се дели на 11. ^[22]^{:c. 106}

История и примери

Най-малките дължини на ръбовете са $a=44,b=117$ и $c=240$ с лицеви диагонали $d=125,e=244$ и $f=267$ , открити от Паул Халке през 1719 г.^[23] Крайчик дава 257 варианта с нечетен ръб под 1 милион. Ф. Хeлениус е съставил списък с 5003 най-малки Ойлерови паралелепипеда, измерени по най-дългия ръб. Първите няколко са (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160).

Интересът към този проблем е бил висок през 18-ти век и през 1740 г. Сондерсън намира параметрично решение, което позволява (a, b, c) да е Питагорова тройка и винаги дава Ойлерови паралелепипеди, но не всички възможни. През 1770 и 1772 г. Ойлер намира поне две параметрични решения.^[24] По-долу са показани някои други малки примитивни решения, дадени като ръбове (a, b, c) — лицеви диагонали (d, e, f):

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

Дължините на най-късия, средния и най-дългия ръб (a, b, c) на най-малките (измерени чрез най-дългия ръб c) примитивни Ойлерови паралелепипеди имат следните стойности:

a: 44, 240, 140, 85, 160, 1008, 187, 429, 832, 780, 828, 1560, 528, 195, 1155, 1755, 495, 1575, 2964, 7840, 2925, 1008, 4368, 1080, 10296, 7579, 8789, 6072, 14112, 5643, 4599, 4900, 6435, 935, 7920, 7800, 4928, 7560, 23760, 1105, 2163, 2964. ^[25]

b: 117, 252, 480, 132, 231, 1100, 1020, 880, 855, 2475, 2035, 2295, 5796, 748, 6300, 4576, 4888, 1672, 9152, 9828, 3536, 1100, 4901, 1881, 11753, 8820, 10560, 16929, 15400, 14160, 18368, 17157, 24080, 17472, 15232, 23751, 10725, 13728. ^[26]

c: 240, 275, 693, 720, 792, 1155, 1584, 2340, 2640, 2992, 3120, 5984, 6325, 6336, 6688, 6732, 8160, 9120, 9405, 10725, 11220, 12075, 13860, 14560, 16800, 17472, 17748, 18560, 19305, 21476, 23760, 23760, 24684, 25704, 26649, 29920, 30780. ^[27]

Галерия

Приноси
Паул Халке (1719)
Леонард Ойлер
(1770 – 1772)
Ричард Гай (2009)

Източници и бележки

↑ ^а ^б Йън Стюарт. Величайшие математические задачи. Изд. „Альпина нон-фикшн“. Москва, 2016. ISBN 978-5-91671-507-1. с. 407. (на руски)
↑ ^а ^б R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf Архив на оригинала от 2016-03-26 в Wayback Machine.
↑ ^а ^б ^в Yoyo@Home, Perfect Cuboid sub-project, http://www.rechenkraft.net/yoyo/ Архив на оригинала от 2017-09-22 в Wayback Machine.
↑ Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
↑ Mu Alpha Theta // Архивиран от оригинала на 26 листопада 2006. Посетен на 26 листопада 2006.
↑ yoyo@home // Архивиран от оригинала на 2018-01-22. Посетен на 2018-01-22.
↑ Источник // Архивиран от оригинала на 2016-03-26. Посетен на 2023-03-03.
↑ Bill Butler, The «Integer Brick» Problem Архив на оригинала от 2007-08-30 в Wayback Machine.
↑ Примитивен означава, че gcd(a,b,c) = 1.
↑ M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).
↑ ^а ^б I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.
↑ Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000
↑ Florian Luca (2000) "Perfect Cuboids and Perfect Square Triangles", Mathematics Magazine, 73:5, p. 400-401
↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids, arXiv:1506.02215v2 Архив на оригинала от 2018-01-23 в Wayback Machine. [math.NT] 27 Jun 2015.
↑ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771
↑ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
↑ Randall L. Rathbun – The Integer Cuboid Table, 1705.05929v4, math.NT, 14 Jul 2020.
↑ Sawyer, Jorge F. и др. Perfect parallelepipeds exist // Mathematics of Computation 80 (274). 2011. DOI:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. с. 1037–1040..
↑ J. F. Sawyer, C. A. Reiter, Perfect parallelepipeds exist Архив на оригинала от 2015-07-06 в Wayback Machine., Math. Comp. 80(2011), No. 274, P. 1037—1040.
↑ B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, An infinite family of perfect parallelepipeds Архив на оригинала от 2015-07-06 в Wayback Machine., Math. Comp. 83(2014), No. 289, P. 2441—2454.
↑ Problem 930. – Crux Mathematicorum, 11(5), 162–166, May 1985, https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v11n05_May.pdf
↑ ^а ^б ^в ^г ^д Wacław Sierpiński – Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).
↑ Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems By Ian Stewart, Chapter 17.
↑ Euler Brick, Wolfram Mathworld.
↑ Джовани Реста – A031175 – Shortest edge a of smallest primitive Euler bricks, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 23 март 2014 г.
↑ Джовани Реста – A031174 – Intermediate edge a of smallest primitive Euler bricks, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 23 март 2014 г.
↑ Ралф Щайнер – A031173 – Longest edge a of smallest primitive Euler bricks, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 22 ноември 2017 г. – 14 януари 2018 г.

[Стюарт-1] а ^б Йън Стюарт. Величайшие математические задачи. Изд. „Альпина нон-фикшн“. Москва, 2016. ISBN 978-5-91671-507-1. с. 407. (на руски)

[Matson-2] а ^б R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf Архив на оригинала от 2016-03-26 в Wayback Machine.

[yoyo@home-3] а ^б ^в Yoyo@Home, Perfect Cuboid sub-project, http://www.rechenkraft.net/yoyo/ Архив на оригинала от 2017-09-22 в Wayback Machine.

[4] Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2

[5] Mu Alpha Theta // Архивиран от оригинала на 26 листопада 2006. Посетен на 26 листопада 2006.

[6] yoyo@home // Архивиран от оригинала на 2018-01-22. Посетен на 2018-01-22.

[7] Источник // Архивиран от оригинала на 2016-03-26. Посетен на 2023-03-03.

[8] Bill Butler, The «Integer Brick» Problem Архив на оригинала от 2007-08-30 в Wayback Machine.

[9] Примитивен означава, че gcd(a,b,c) = 1.

[10] M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).

[Korec-11] а ^б I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.

[12] Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000

[Luca-13] Florian Luca (2000) "Perfect Cuboids and Perfect Square Triangles", Mathematics Magazine, 73:5, p. 400-401

[14] W. Wyss, On Perfect Cuboids, arXiv:1506.02215v2 Архив на оригинала от 2018-01-23 в Wayback Machine. [math.NT] 27 Jun 2015.

[15] Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771

[16] Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984

[17] Randall L. Rathbun – The Integer Cuboid Table, 1705.05929v4, math.NT, 14 Jul 2020.

[18] Sawyer, Jorge F. и др. Perfect parallelepipeds exist // Mathematics of Computation 80 (274). 2011. DOI:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. с. 1037–1040..

[19] J. F. Sawyer, C. A. Reiter, Perfect parallelepipeds exist Архив на оригинала от 2015-07-06 в Wayback Machine., Math. Comp. 80(2011), No. 274, P. 1037—1040.

[20] B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, An infinite family of perfect parallelepipeds Архив на оригинала от 2015-07-06 в Wayback Machine., Math. Comp. 83(2014), No. 289, P. 2441—2454.

[21] Problem 930. – Crux Mathematicorum, 11(5), 162–166, May 1985, https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v11n05_May.pdf

[Sierpinski-22] а ^б ^в ^г ^д Wacław Sierpiński – Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).

[23] Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems By Ian Stewart, Chapter 17.

[24] Euler Brick, Wolfram Mathworld.

[OEISa-25] Джовани Реста – A031175 – Shortest edge a of smallest primitive Euler bricks, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 23 март 2014 г.

[OEISb-26] Джовани Реста – A031174 – Intermediate edge a of smallest primitive Euler bricks, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 23 март 2014 г.

[OEISc-27] Ралф Щайнер – A031173 – Longest edge a of smallest primitive Euler bricks, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 22 ноември 2017 г. – 14 януари 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]