Диагонал

Диагонал е математическо, основно геометрично понятие. В геометрията диагоналът е линеен сегмент, свързващ два върха на многоъгълник или многостен, когато тези върхове не са на един и същи ръб.

Диагоналите на куб с дължина на страната AA' =1. AC=${\sqrt {2}}$ е лицев диагонал в квадрата, който формира горната основа на куба. AC' =${\sqrt {3}}$ е неговият телесен диагонал.

Неофициално всяка наклонена линия се нарича диагонал. Думата диагонал произлиза от старогръцката διαγώνιος /диагониос/ – „от ъгъл до ъгъл“ (от διά- /диа-/ – „през“, „напречно“ и γωνία /гониа/ – „ъгъл“, свързано с гони – „коляно“); използвана е както от Страбон, така и от Евклид за обозначаване на линия, свързваща два върха на ромб или кубоид и по-късно приета на латински като diagonus („наклонена линия“). Диагоналът в планиметрията е съединителна отсечка, свързваща два върха на изпъкнал многоъгълник, които не лежат на една страна. В стереометрията диагонал (или още телесен диагонал) се нарича отсечка между два върха на многостен, които не лежат на една и съща негова стена.

Диагонали в равнината

Многоъгълници

Приложен към многоъгълник, диагоналът е линеен сегмент, свързващ всеки два непоследователни върха. Следователно четириъгълникът има два диагонала, свързващи противоположни двойки върхове. За всеки изпъкнал многоъгълник всички диагонали са вътре в многоъгълника, но за повторно влизащите многоъгълници някои диагонали са извън многоъгълника.

Всеки n-странен многоъгълник (n ≥ 3), изпъкнал или вдлъбнат, има ${\dfrac {n(n-3)}{2}}$ общи диагонали, тъй като всеки връх има диагонали към всички други върхове с изключение на себе си и двата съседни върха, или n − 3 диагонала, и всеки диагонал се споделя от два върха.

Като цяло правилният n-ъгълник има $\left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor$ различни диагонали по дължина, които следват модела 1,1,2,2,3,3... започвайки от квадрат.

Страни Диагонали 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Страни Диагонали 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Страни Диагонали 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Страни Диагонали 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527

Страни Диагонали 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

Теореми от планиметрията, свързани с диагонали

• Четириъгълник, чиито диагонали взаимно се разполовяват, е успоредник.
• Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.
• Успоредник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни, е ромб.
• В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му.
• Лицето на ромб е равно на полупроизведението от двата му диагонала.
• Ромб с равни диагонали е квадрат.
• Лицето на квадрат е равно на половината от квадрата на диагонала му.

Първа теорема на Птоломей

Произведението от диагоналите на всеки вписан четириъгълник е равно на сбора от произведенията на срещуположните страни: $d_{1}.d_{2}=ac+bd$.

Втора теорема на Птоломей

Диагоналите във всеки вписан четириъгълник се отнасят помежду си така, както сборовете от произведенията на страните, пресичащи се в краищата на съответния диагонал: $\textstyle {{\frac {d_{1}}{d_{2}}}={\frac {ab+cd}{ac+bd}}}$

Теорема на Щайнер

В трапец, пресечната точка на диагоналите, средите на основите и пресечната точка на бедрата лежат на една права.

Диагонали в пространството

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.}

Диагонали в алгебрата

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

В алгебрата, и по-специално когато се говори за матрици и детерминанти, се използва понятието главен диагонал, с който се обозначава множеството от елементите ѝ с равни индекси. Единичната матрица е матрица с единици по главния диагонал и нули навсякъде другаде.