Тригонометрична функция

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

• отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
• координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

• решения на някои диференциални уравнения;
• безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Графики на тригонометричните функции:

  синус

  косинус

  тангенс

  котангенс

  секанс

  косеканс

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

Фиг. 1. Правоъгълен триъгълник

Разглежда се правоъгълен триъгълник $ACB$ в евклидовата равнина (фиг. 1), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана). Следователно $0<\alpha ,\beta <90$° или $0<\alpha ,\beta <{\frac {\pi }{2}}$.

Дефиниции

Синус на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл $\alpha$, тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл $\alpha$ са подобни.

Косинус на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$.

Тангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {a}{b}}$.

Котангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

$\operatorname {cotg} \,\alpha ={\frac {b}{a}}$.

Секанс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

$\sec \alpha ={\frac {c}{b}}$.

Косеканс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

$\operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {c}{a}}$.

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единична окръжност

Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF. Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА, който сключва ъгъл $\theta$ с абсцисната ос OE (фиг. 2).

Фиг. 2. Тригонометрични функции на ъгъл θ в единична окръжност

От правоъгълния триъгълник OCA

$\sin \theta ={\frac {CA}{OA}}={\frac {CA}{1}}=CA$,

тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. От тук следва определението:

Синус на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

$\sin \theta ={CA}$.

Изчертаване на функциите синус и косинус от единичната окръжност.

По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции:

Косинус на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

$\cos \theta ={OC}$.

Тангенс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса:

$\operatorname {tg} \,\theta ={\frac {CA}{OC}}\quad$, $\quad \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$.

Котангенс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината:

$\operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {OC}{CA}}\quad$, $\quad \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$.

Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно.

Секанс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

$\sec \theta =OE\quad$, $\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$.

Косеканс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

$\operatorname {cosec} \,\theta =OF\quad$, $\quad \operatorname {cosec} \,\theta ={\frac {1}{\sin \theta }}$.

В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3):

Фиг. 3. Единична окръжност с основни и допълнителни тригонометрични функции на ъгъл θ.

• хорда – crd(θ) = 2 sin(θ2) ;
• версинус, версин или синус версус –
  

versin, vers или sin vers:

versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin²(θ2)

(появява се в най-ранните таблици);

• веркосинус или косинус версус –
  

vercos или cos vers:

vercos(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π2 − θ) ;

• хаверсинус – haversin или hav:
  

haversin(θ) = 12versin(θ) = sin²(θ2) ;

• хаверкосинус – havercos или hac:
  

havercos(θ) = 12vercos(θ) = cos²(θ2);

• екссеканс – exsec(θ) = sec(θ) − 1;
• екскосеканс – excsc(θ) = exsec(π2 − θ) = csc(θ) − 1.

Графики на функциите versin, vercos, haversin, havercos, exsec, excsc

Свойства

Свойства на функцията синус

Синус

1. Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа: $D(y)=\mathbb {R}$.
2. Множество на стойностите на функцията – областта
   [−1; 1]: $E(y)=$ [−1;1].
3. Функцията $y=\sin \left(x\right)$ е нечетна: $\sin \left(-x\right)=-\sin x\,$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $2\pi$: $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x=n\pi \,,\,n\in Z\,$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $x\in \left(0+2\pi n\,;\,\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z$ и
   $y<0$ при $x\in \left(\pi +2\pi n\,;\,2\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\sin x)'=\cos x\,$
8. Функцията $y=\sin x$ е растяща при $x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z$, и намаляваща при $x\in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,;\,3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,\,n\in Z$.
9. Функцията има минимум при $x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z$ и максимум при $x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z$.

Свойства на функцията косинус

Косинус

1. Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа: $D(y)=\mathbb {R}$.
2. Множество на стойностите – областта [−1; 1]:
   $E(y)$ = [−1;1].
3. Функцията $y=\cos \left(x\right)$ е четна: $\cos \left(-x\right)=\cos x\,$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $2\pi$: $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x={\frac {\pi }{2}}+n\pi \,,\,n\in Z\,$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $\left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z$ и
   $y<0$ при $\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z\,$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\cos x)'=-\sin x$
8. Функцията $y=\cos x$ е растяща при $x\in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,\,n\in Z,$ и е намаляваща при $x\in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z\,$.
9. Функцията има минимум при $x=\pi +2\pi n\,n\in Z$ и максимум при $x=2n\pi \,,\,n\in Z\,$.

Свойства на функцията тангенс

Тангенс

1. Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа: $D(y)=\mathbb {R}$, освен числата $x={\frac {\pi }{2}}+n\pi$.
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: $E(y)=\mathbb {R}$.
3. Функцията $y=\mathrm {tg} \left(x\right)$ е нечетна: $\mathrm {tg} \left(-x\right)=-\mathrm {tg} \ x\,$.
4. Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на $\pi$: $\mathrm {tg} \left(x+\pi \right)=\mathrm {tg} \left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x=n\pi \,,\,n\in Z\,$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z$ и
   $y<0$ при $x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,\,n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
8. Функция $y=\mathrm {tg} \ x$ расте при $x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n\,;\,{\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)\,,\,n\in Z$.

Свойства на функцията котангенс

Котангенс

1. Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа: $D(y)=\mathbb {R} ,$ освен числата $x=n\pi .$
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: $E(y)=\mathbb {R} \,$.
3. Функцията $y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)$ е нечетна: $\mathop {\operatorname {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ x\,$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $\pi$: $\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x+\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)\,$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,\,n\in Z\,$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z\,$ и
   $y<0$ при $x\in \left(n\pi +{\frac {\pi }{2}}\,;\,\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,$.
7. Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: $(\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.$
8. Функцията $y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ x$ намалява при $x\in \left(n\pi ;\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,$.

Обобщени свойства

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

$\sin \left(-x\right)=-\sin x\,$, $\quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {tg} } x\,$,

$\cos \left(-x\right)=\cos x\,$, $\quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,x$.

За остри ъгли $\alpha <{\frac {\pi }{2}}\,\!$

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha \,$, $\quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha$,

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha \,$, $\quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha$,

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$, $\quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha$,

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$, $\quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha$.

За ъгли $0<\alpha <\pi \,\!$ е изпълнено

$\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \,$, $\quad \quad \quad \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha$,

$\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \,$, $\quad \quad \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \,$,

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,$,

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,$,

$\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,$,

$\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,$.

Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°.

• $\,\sin(x)\geq \ 0$ за $\,0^{\circ }\leq x\leq 180^{\circ }$ или $\,0\leq x\leq \pi$
• $\,\sin(x)\leq \ 0$ für $\,180^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }$ или $\,\pi \leq x\leq 2\pi$

• $\,\cos(x)\geq \ 0$ за $\,0^{\circ }\leq x\leq 90^{\circ },270^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }$ oder $\,0\leq x\leq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x\leq 2\pi$
• $\,\cos(x)\leq \ 0$ за $\,90^{\circ }\leq x\leq 270^{\circ }$ или $\,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}$

• $\,\tan(x)\geq \ 0$ за $\,0^{\circ }\leq x<90^{\circ },180^{\circ }\leq x<270^{\circ }$ или $\,0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}},\pi \leq x<{\tfrac {3\pi }{2}}$
• $\,\tan(x)\leq \ 0$ за $\,90^{\circ }<x\leq 180^{\circ },270^{\circ }<x\leq 360^{\circ }$ или $\,{\tfrac {\pi }{2}}<x\leq \pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}<x\leq 2\pi$

• $\,\cot(x)\geq \ 0$ за $\,0^{\circ }<x\leq 90^{\circ },180^{\circ }<x\leq 270^{\circ }$ или $\,0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}},\pi <x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}$
• $\,\cot(x)\leq \ 0$ за $\,90^{\circ }\leq x<180^{\circ },270^{\circ }\leq x<360^{\circ }$ или $\,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x<\pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x<2\pi$

• $\,\sec(x)\geq \ 0$ за $\,0^{\circ }<x<90^{\circ },270^{\circ }<x<360^{\circ }$ или $\,0<x<{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}<x<2\pi$
• $\,\sec(x)\leq \ 0$ за $\,90^{\circ }<x<270^{\circ }$ или $\,{\tfrac {\pi }{2}}<x<{\tfrac {3\pi }{2}}$

• $\,\csc(x)\geq \ 0$ за $\,0^{\circ }<x<180^{\circ }$ или $\,0<x<\pi$
• $\,\csc(x)\leq \ 0$ за $\,180^{\circ }<x<360^{\circ }$ или $\,\pi <x<2\pi$

Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта:

Квадрант	sin и csc	cos и sec	tan и cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции.

Функция	Озна-чения	Изразяване чрез основна връзка	Дефиниционна област	Област на стойностите
Синус	$\operatorname {sin}$	$\sin \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,$	$\forall \alpha$	[–1; 1]
Косинус	$\operatorname {cos}$	$\cos \alpha =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,$	$\forall \alpha$	[–1; 1]
Тангенс	$\operatorname {tg}$ или $\operatorname {tan}$	$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,$	$\forall \alpha$ без $\alpha =k\pi$, $k\in$ $\mathbb {Z}$	$(-\infty ;+\infty )$
Котангенс	$\operatorname {cotg}$, $\operatorname {ctg}$ или $\operatorname {cot}$	$\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,$	$\forall \alpha$ без $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+k\pi$, $k\in$ $\mathbb {Z}$	$(-\infty ;+\infty )$

Връзки между функциите

Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ .$

$\sec ^{2}x-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}x=1\ .$

$\csc ^{2}x-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{x}x=1\ .$

От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1) съгласно теоремата на Питагор

$\left(AC\right)^{2}+\left(BC\right)^{2}=\left(AB\right)^{2}$,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$.

В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin(x)	$\,\sin(x)$	$\,\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}$	$\,\pm {\frac {\tan(x)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}$	$\,\pm {\frac {1}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}$	$\,\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}{\sec(x)}}$	${\frac {1}{\csc(x)}}$
cos(x)	$\,\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$	$\,\cos(x)$	$\,\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}$	$\,\pm {\frac {\cot(x)}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}$	$\,{\frac {1}{\sec(x)}}$	$\,\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}{\csc(x)}}$
tan(x)	$\,\pm {\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}$	$\,\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}{\cos(x)}}$	$\,\tan(x)$	$\,{\frac {1}{\cot(x)}}$	$\,\pm {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}$	$\,\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}$
cot(x)	$\,\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}{\sin(x)}}$	$\,\pm {\frac {\cos(x)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {1}{\tan(x)}}$	$\,\cot(x)$	$\,\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$	$\,\pm {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}$
sec(x)	$\,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {1}{\cos(x)}}$	$\,\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}$	$\,\pm {\frac {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}{\cot(x)}}$	$\,\sec(x)$	$\,\pm {\frac {\csc(x)}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}$
csc(x)	$\,{\frac {1}{\sin(x)}}$	$\,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$	$\,\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}{\tan(x)}}$	$\,\pm {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}$	$\,\pm {\frac {\sec(x)}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$	$\,\csc(x)$

При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът $\,\pm \,$ определя две стойности.

Тригонометричните функции като редове

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$,

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$.

Ползвайки тези формули, а също и равенствата $\operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},$ $\operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},$ $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$ и $\operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},$ може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции:

$\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),$

${\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$

$\sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),$

$\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi <x<\pi \right),$

където $B_{n}$ са числа на Бернули, $E_{n}$ са числа на Ойлер.

Косинусът като скаларно произведение

Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u|| и ||v||:

$\cos(u,v)={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\times \|v\|}}$.

Пресмятане на тригонометрични функции

Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.

Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG, RAD, GRAD. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.

Стойности на тригонометрични функции за някои ъгли

Стойности на косинус и синус $(\cos \alpha \,,\,\sin \alpha )$ на окръжността

Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („$\infty$“ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост).

Основни стойности

Радиани	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
Градуси	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\infty$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$1$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-1$	$\infty$	$1$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$1$	$\infty$	$-1$	$\infty$

Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли

Радиани	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
Градуси	$120^{\circ }$	$135^{\circ }$	$150^{\circ }$	$210^{\circ }$	$225^{\circ }$	$240^{\circ }$	$300^{\circ }$	$315^{\circ }$	$330^{\circ }$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$
$\cos \alpha$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2}}$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2}}$	$-2$

Радиани	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
Градуси	$15^{\circ }$	$18^{\circ }$	$22{,}5^{\circ }$	$36^{\circ }$	$54^{\circ }$	$67{,}5^{\circ }$	$72^{\circ }$	$75^{\circ }$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$
$\cos \alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$2-{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-{\sqrt {3}}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

Стойности на тригонометрични функции за някои други ъгли

$\sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},$

$\sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$

$\sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\sin {\frac {7\,\pi }{60}}=\cos {\frac {23\,\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {7\,\pi }{60}}=\sin {\frac {23\,\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }=\operatorname {ctg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }=\operatorname {tg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {2\,\pi }{15}}=\cos {\frac {11\,\pi }{30}}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\cos {\frac {2\,\pi }{15}}=\sin {\frac {11\,\pi }{30}}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }=\operatorname {ctg} 66^{\circ }={\frac {-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }=\operatorname {tg} 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\sin {\frac {3\,\pi }{20}}=\cos {\frac {7\,\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\cos {\frac {3\,\pi }{20}}=\sin {\frac {7\,\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }=\operatorname {ctg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }=\operatorname {tg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$

$\sin {\frac {11\,\pi }{60}}=\cos {\frac {19\,\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {11\,\pi }{60}}=\sin {\frac {19\,\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }=\operatorname {ctg} 57^{\circ }={\frac {-2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }=\operatorname {tg} 57^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {13\,\pi }{60}}=\cos {\frac {17\,\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {13\,\pi }{60}}=\sin {\frac {17\,\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }=\operatorname {ctg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }=\operatorname {tg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {7\,\pi }{30}}=\cos {\frac {8\,\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }={\frac {-({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\cos {\frac {7\,\pi }{30}}=\sin {\frac {8\,\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }=\operatorname {ctg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }=\operatorname {tg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {ctg} {\frac {59\,\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }=\operatorname {ctg} 88.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos {\frac {\pi }{17}}=\sin {\frac {15\,\pi }{34}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(85+19{\sqrt {17}})}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2$

Литература

• Lars Ahlfors. Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, segona edició, McGraw-Hill Book Company, Nova York, 1966.
• Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, Nova York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
• Boyer, Carl B. – A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., segona edició. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
• Joseph, George G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, segona edició Penguin Books, Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
• Kantabutra, Vitit. "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli. Trigonometric Delights Arxivat 2006-04-14 a Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reimpressió (25 febrer de 2002): ISBN 0-691-09541-8.
• Needham, Tristan. "Preface" Arxivat 2004-06-02 a Wayback Machine." a Visual Complex Analysis Arxivat 2008-06-07 a Wayback Machine.. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
• O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Trigonometric functions" Arxivat 2013-01-20 a Wayback Machine., Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (1996).
• O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Madhava of Sangamagramma", Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2000).
• Pearce, Ian G. "Madhava of Sangamagramma" Arxivat 2006-05-05 a Wayback Machine.. Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2002).
• Weisstein, Eric W. "Tangent" a MathWorld, accés el 21 de gener de 2006.

Вижте също

• Тригонометрия
• Списък с интеграли на тригонометрични функции
• Обратни тригонометрични функции
• Аркуссинус