Числа на Бернули

\displaystyle {B_{0}=1}

B_{1}=-{\frac {1}{2}}

B_{2}={\frac {1}{6}}

\displaystyle {B_{3}=0}

B_{4}=-{\frac {1}{30}}

\displaystyle {B_{5}=0}

B_{6}={\frac {1}{42}}

\displaystyle {B_{7}=0}

B_{8}=-{\frac {1}{30}}

\displaystyle {B_{9}=0}

B_{10}={\frac {5}{66}}

\displaystyle {B_{11}=0}

B_{12}=-{\frac {691}{2730}}

\displaystyle {B_{13}=0}

B_{14}=1{\frac {1}{6}}

\displaystyle {B_{15}=0}

B_{16}=-7{\frac {47}{510}}

\displaystyle {B_{17}=0}

B_{18}=54{\frac {775}{798}}

\displaystyle {B_{19}=0}

B_{20}=-529{\frac {41}{330}}

Числата на Бернули представляват редица от рационални числа $B_{0},B_{1},B_{2},\dots$ , открита от Якоб Бернули във връзка с изчислението на сумата на последователните естествени числа, вдигнати на една и съща степен:

\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},

където ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}$ е биномен коефициент.

Рекурсивна формула

За числата на Бернули съществува следната рекурсивна формула:

\displaystyle {B_{0}=1\;,}

B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .

Всички нечетни числа на Бернули, с изключение на ${\textstyle {B_{1}}}$ , са равни на нула, а знаците на четните числа се редуват.
Числата на Бернули се използват като променливи в полиномите на Бернули. ${\textstyle {B_{n}(x)}}$ при ${\textstyle {x=0}}$ :

\displaystyle {B_{n}=B_{n}(0)\;.}

Числата на Бернули често служат като коефициенти за разлагане на елементарни функции в степенни редове:
- ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi$ ,
- $x\;\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi$ ,
- $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2$ .
Ойлер установява връзка между числата на Бернули и променливите в Дзета-функцията на Риман ζ(s) за четни s = 2k:

B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.

Също така:

\displaystyle {B_{n}=-n\zeta (1-n)}\;\;

за всички естествени числа n, по-големи от 1.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$

Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. Санкт Петербург, 1890 – 1907.
Абрамович В. Числа Бернулли // Квант, 1974. с. 10 – 14.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Числа Бернулли“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.