Област на определение на функция

Илюстрация на f, функция от розовата област X в синята кообласт Y. Жълтият овал в Y е образът на f.

В математиката, област на определение на функция (също дефиниционна област и дефиниционно множество) е множество от стойности на аргумента, за които дадена функция е определена. Тоест, функцията има определена стойност за всеки елемент от областта. Множеството от стойности, които се получават от дадената функция, се нарича образ на функцията.

Например, областта на определение на косинуса е множеството на всички реални числа, докато областта на квадратния корен включва само числа, по-големи или равни на нула (и в двата случая не се вземат предвид комплексните числа).

Ако дефиниционното множество на функция е подмножество на реалните числа, а функцията е представена в Декартови координати, тогава областта се изразява върху оста x.

Определение

За дадена функция $f\colon X\to Y$, множеството $X$ е областта на $f$, а множеството $Y$ е кообластта на $f$. В израза $f(x)$, $x$ е аргументът, а $f(x)$ е стойността. Аргументът може да се приеме за елемент от областта, който е избран за „вход“ на функцията, а стойността като „изход“, когато функцията се приложи върху въпросния елемент от областта.

Образът на $f$ е множеството от всички стойности, които $f$ може да приеме за всички възможни $x$. Това е множеството $\left\{f(x)|x\in X\right\}$. Образът на $f$ може да е същият като кообластта или да е нейно собствено подмножество. Той е цялата подобласт тогава и само тогава, когато $f$ е сюрективна функция, като във всички останали случаи е по-малък.

Една добре дефинирана функция трябва да съпоставя всеки елемент от областта си към елемент от кообластта си. Например, функцията $f$, дефинирана

$f(x)={\frac {1}{x}}$

няма стойност за $f(0)$. Следователно, множеството на всички реални числа ($\mathbb {R}$) не може да бъде нейното дефиниционно множество. В такъв случай, функцията се дефинира в $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ или пролуката се запълва чрез изрично дефиниране на $f(0)$. Ако дефиницията на $f$ се разшири до функцията на части

$f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$

тогава f е дефинирана за всички реални числа и областта ѝ на определение е $\mathbb {R}$.

Всяка функцията може да се ограничи до подмножество от областта си. Ограничението на $g\colon A\to B$ до $S$, където $S\subseteq A$, се изразява като $\left.g\right|_{S}\colon S\to B$.