Правоъгълен тетраедър

Правоъгълен тетраедър е този, на който всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Този връх се нарича прав ъгъл или връх на триправоъгълния тетраедър, а лицето срещу него се нарича основа. Трите ръба, които се срещат под прав ъгъл, се наричат катети, а перпендикулярът от правия ъгъл към основата се нарича височина на тетраедъра (аналогично на височината на триъгълник). Триправоъгълен тетраедър може да се получи чрез отрязване с равнина на тетраедър от правоъгълен паралелепипед. В него трите лицеви ъгъла в един връх са прави ъгли, както в ъгъла на куб (фиг. 1). Страничните му стени са правоъгълни триъгълници. Ако и четирите стени са правоъгълни триъгълници, тетраедърът е четириправоъгълен. Той има 2 прави ъгъла във всеки от двата върха, затова се нарича още двуправоъгълен или характерен тетраедър. Известен е и с името 3-ортосхема.

Например специалният случай на 3-ортосхема с перпендикулярни ръбове с еднаква дължина е характерен за куба, което означава, че кубът може да бъде подразделен на екземпляри на тази ортосхема (фиг. 2). Ако неговите три перпендикулярни ръба са с единична дължина, останалите му ръбове са два с дължина ${\sqrt {2}}$ и един с дължина ${\sqrt {3}}$ , така че всичките му ръбове са ръбове или диагонали на куба. Кубът може да бъде разчленен на 6 такива 3-ортосхеми по 4 различни начина, като и шестте обграждат един и същ диагонал на куба с дължина ${\sqrt {3}}$ . Кубът може също така да бъде разчленен на 48 по-малки екземпляра на същата характерна 3-ортосхема (само по един начин, чрез всичките си равнини на симетрия наведнъж).^[1]^[2] Характерният тетраедър на куба е пример за Херонов тетраедър (тетраедър, чиито дължини на ръбове, лицеви площи и обем са цели числа).

Формули

В правоъгълен тетраедър с перпендикулярни ръбове $AO=a$ , $BO=b$ , $CO=c$ , пресичащи се във върха точка $O$ (прав тристенен ъгъл – фиг. 3, 4):

$~V={\frac {abc}{6}}$ – обем на тетраедъра;
$~S_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}$ – площ на основата на тетраедъра, вид запис на теоремата на Де Гуа;
$~S={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}+{\sqrt {p(p-d)(p-e)(p-f)}}$ – пълна повърхнина на тетраедъра; $~p={\frac {d+e+f}{2}}$ (фиг. 3);
$~h={\frac {abc}{2S_{0}}};$ ${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}$ – височина на тетраедър, спусната от върха на правоъгълен тристенен ъгъл към основата, където $S_{0}$ е площта на основата на тетраедъра;
$~R={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ – радиус на сферата, описана около тетраедъра;
$~r={\frac {ab+bc+ac-{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}{2(a+b+c)}}$ – радиус на сфера, вписана в тетраедъра;
$~m={\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ – медиана, изтеглена от върха на правоъгълен тристенен ъгъл, където $R$ е радиусът на сферата, описана около тетраедъра.^[1]^[2]

Теорема на Де Гуа

Ако в триправоъгълен тетраедър площта на основата е $S_{0}$ и площите на трите правоъгълни стени са $S_{1},S_{2}$ и $S_{3}$ (фиг. 4), тогава

$S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}.$

Теоремата е публикувана от френския математик Жан-Пол де Гуа (1713 – 1785) през 1783 г. Това е обобщение на Питагоровата теорема за тетраедър.

Целочислени варианти и съединения

Съвършено тяло и съединения

Площта на основата $(a,b,c)$ винаги е ирационално число съгласно теоремата на Де Гуа. Така триправоъгълен тетраедър с цели ръбове никога не е съвършено тяло (с всички целочислени размери). Триправоъгълната бипирамида (6 стени, 9 ръба, 5 върха – фиг. 5), изградена от такива триправоъгълни тетраедри и свързаните с тях леви подобия (огледални копия вляво), свързани на техните основи, има рационални числа за дължини на ръбовете, площи на стените и обема, но ирационална стойност за дължината на пространствения диагонал между двата триправоъгълни върха, която е рационална част от дължината на пространствения диагонал на съответното свързано тяло Ойлеров паралелепипед $(bc,ca,ab)$ – вид почтисъвършен правоъгълен паралелепипед.^[3]

Целочислени ръбове

Съществуват триправоъгълни тетраедри, на които страните на триъгълната основа $a,b,c$ и катетите $d={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},e={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},f={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ са цели числа. Най-малкият от тях има размери $a=240,b=117,c=44,d=125,e=244,f=267$ и е открит от Халке през 1719 г. (фиг. 5). В таблицата са дадени примери за триправоъгълни тетраедри с цели катети и страни, като някои от тях са кратни на по-малки, а други съседни са свързани и имат повтарящи се ръбове:

Целочислени ръбове на правоъгълен тетраедър
a	b	c	d	e	f
240	117	44	125	244	267
275	252	240	348	365	373
480	234	88	250	488	534
550	504	480	696	730	746
693	480	140	500	707	843
720	351	132	375	732	801
720	132	85	157	725	732
792	231	160	281	808	825
825	756	720	1044	1095	1119
960	468	176	500	976	1068
1100	1008	960	1392	1460	1492
1155	1100	1008	1492	1533	1595
1200	585	220	625	1220	1335
1375	1260	1200	1740	1825	1865
1386	960	280	1000	1414	1686
1440	702	264	750	1464	1602
1440	264	170	314	1450	1464

Цели лица

Съществуват триправоъгълни тетраедри с цели лица $S_{a},S_{b},S_{0}$ и височина $h$ , напр. $a=42,b=28,c=14,S_{c}=588,S_{a}=196,S_{b}=294,S_{0}=686,h=12$ без взаимно прости $a,b,c$ или $a=156,b=80,c=65,S_{c}=6240,S_{a}=2600,S_{b}=5070,S_{0}=8450,h=48$ с взаимно прости $a,b,c$ .