История на математиката

Според Андрей Колмогоров историята на математиката може да се раздели на следните периоди:

Период на зараждане и натрупване на фактологичен материал;
Период на елементарната математика, започнал през VI – V век пр.н.е. и продължил до края на XVI век (утвърдените тогава понятия и днес са в основата на елементарната математика, преподавана в училище);
Период на математиката с променливи величини XVII – XVIII век, развитие на висшата математика;
Съвременен период.

Зараждане

Известни елементарни представи за количеството и за пространствените форми вероятно са били достояние на човешкия род още от неговата поява. Най-простите операции от този тип (сравняване на разстояния, установяване на липса на предмет сред малка група от предмети) са по силите дори на висшите животни. В процеса на развитие на човека тези първоначално прости представи са се обогатявали и усложнявали. На даден етап е възникнала нуждата от оформянето им в понятия и подреждането на натрупаните знания в стройна система.

Математиката като наука възниква с появата на цивилизования начин на живот през IV – III хил. пр. Хр. Но дори преди този период хората са имали нужда да отброяват разни неща, което съдим по намерени при разкопки сметала, направени от кости.

Първата по-сериозна математика се развива в Древен Египет, Месопотамия и в долината на Инд. На тези места сезонното поведение на големите реки Нил, Тигър и Ефрат и Инд позволява развитието на уседнал, земеделски начин на живот. Това обаче подтиква развитието на астрономията, за да се следи времето и хората да знаят кога да засаждат и прибират реколтата, на аритметиката и на геометрията, които са били нужни за целите на данъчното облагане, строителството, а по-късно намират приложение и във военното дело и изкуството. От тази епоха датират най-древните математически писмени трудове, сред които се открояват вавилонската глинена плочка Plimpton 322 и Райдонския египетски свитък.

Античен и средновековен период

По време на египетско-месопотамския период се развиват особено аритметиката, астрономията и простата геометрия. Основен проблем през този период е, че повечето математически резултати се използват наизуст (без доказателства). Първият систематично издържан подход към математиката прилагат древните гърци. Тяхна заслуга е схващането да се използва система от утвърдени „истини“, наричани аксиоми, въз основа на които се доказва верността на по-сложни твърдения, наричани теореми. Древните гърци развиват значително геометрията, стереометрията, теорията на числата, комбинаториката и „диофантовата“ алгебра. Един от най-важните трудове от тази епоха е „Елементи“ на Евклид от Александрия, както и идеите на Архимед, някои от които са предшественици на математическия анализ.

С възхода на Римската империя и теологичните противоборства в нейните рамки, както и с увеличаването на нашествията на варварски народи към Европа, математиката в елинския свят замира. Центърът на развитие се пренася на Изток – в Китай и Индия, а по-късно – и в мюсюлманския свят. Най-важното нововъведение на тази школа е използването на така наречените арабски цифри (в това число и цифрата нула), които всъщност са изобретени от индийците. Преди това математиката е приличала повече на съчинение, където всичко е било обяснявано с думи, така че новият подход с използването на позиционната система значително улеснява извършването на тривиални (от съвременна гледна точка) сметки. През IX век арабите поставят и основите на алгебрата в познатия ни днес вид като наука, която се стреми да решава абстрактни задачи и да създава абстрактни модели на често срещани конкретни математически зависимости.

Ренесанс и Просвещение

През XIV – XV век в Европа се развиват търговията и икономиката, което дава тласък на изкуството, философията и предприемачеството. Образува се средна класа и отслабва влиянието на Църквата върху обществото. Всичко това оказва влияние върху развитието на науката, в частност математиката.

Големите научни открития

През XVI – XVII век се развива астрономията, описано е движението на видимите по онова време планети, а Декарт полага основите на аналитичната геометрия, чрез която орбитите на планетите били изразени с математически формули. По-късно Нютон и Лайбниц поставят основите на диференциалното и интегралното смятане, Нютон формулира основните закони на механиката и чрез тях дава математическо обяснение на движенията на планетите. Този напредък в разбирането на Вселената с помощта на логически издържан математически апарат спомага за развитието на математиката, физиката и техниката през следващите векове.

Индустриалната революция

През XVIII и началото на XIX век са положени основите на функционалния анализ (от Ойлер и братята Бернули), теорията на групите (от Абел и Галоа), вариационното смятане (от Ойлер и Лагранж), хармоничния анализ (от Фурие), статистиката и теорията на вероятностите (от Лаплас), диференциалната геометрия (от Риман и Гаус), неевклидовата геометрия (от Лобачевски и Бояй), топологията (от Поанкаре) и др.

Съвременност

XIX век

През XIX век математиката става все по-абстрактна. Това е времето, в което живее и работи Карл Фридрих Гаус (1777 – 1855). Като оставим настрана множеството негови приноси към науката, в чистата математика той прави революционната работа по функции от комплексни променливи в геометрията и върху конвергенцията на числови редове. Той дава първото задоволително доказателство на Основната теорема на алгебрата и на квадратичния закон за реципрочност.

През този век са развити две форми на неевклидова геометрия, при които постулатът за успоредност не е валиден.

Заедно с откритията в електрониката, машиностроенето и медицината този научен потенциал води до забележителното технологично развитие през XIX – XX век, но и позволява практическото осъществяване на ужаса на двете световни войни.

XX век

Влияние върху развитието на математиката през XX век оказва докладът на Давид Хилберт от 1900 година, в който той формулира 23 нерешени проблема. Част от тях са решени. През 1929 г. Андрей Николаевич Колмогоров предлага аксиоматизация на теорията на вероятностите. Важни резултати в математическата логика и постига Курт Гьодел. В края на века е доказана и Великата теорема на Ферма.

След появата на компютъра, интернет и възможностите за съвместна работа на огромен брой учени, в развитието на математиката все повече се разчита на изчислителната мощ на съвременните компютри и на колективната работа в екип. Така например през 1976 е доказана с помощта на компютър теоремата за оцветяване на равнинна карта само с четири цвята, а в периода 1995 – 2004 екип от повече от 100 учени успяват да направят класификация на крайните прости групи.

XXI век

През 2000 Математическият институт „Клей“ обявява седем Награди за решения на задачи на хилядолетиято (за решаването на която и да е от тях институтът предлага по 1 млн. долара), и през 2003 е доказана Хипотезата на Поанкаре от Григорий Перелман (който отказва да приеме наградата, тъй като е критичен към статуквото в математиката).

Днес повечето списания по математика имат своите онлайн версии и издания, освен хартиените издания, а много списания започват да бъдат издавани само онлайн. Има и засилен стремеж за свободно публикуване (под свободен лиценз), за първи път популяризирано от arXiv.

Хронология

до ок. 2500 до н.е. Поява на необходимостта от броене и измерване; наченки на устното броене
ок. 2500 пр. Хр. В Месопотамия се въвежда и развива смесена десетично-шестдесетична позиционна бройна система
ок. 2000 пр. Хр. В Месопотамия математиците решават алгебрични уравнения до 2-ра степен (квадратни уравнения); математиката се развива и в Древен Египет, откъдето са запазени малко документи (папируси с рецепти за решаването на конкретни задачи)
ок. 550 пр. Хр. Питагор доказва теоремата за страните в правоъгълен триъгълник (тя е известна и преди в Китай, Месопотамия и Древен Египет)
ок. 450 пр. Хр. Древногръцкият математик Хипас (Хипазос) Метапонтийски от школата на Питагор открива, че някои числа са ирационални
300 пр. Хр. Евклид в трактата си „Елементи“ установява законите на геометрията, влизащи в учебниците и днес; повече от 2000 г. (до появата на неевклидовите геометрии) се смята, че геометрията на Евклид е единствената възможна
ок. 230 пр. Хр. Ератостен открива метод за намиране на всички прости числа (сито на Ератостен)
ок. 190 пр. Хр. Китайски математици използват степени на 10 за изразяване на величини
ок. 100 пр. Хр. Китайски математици започват да използват отрицателни числа
ок. 210 сл. Хр. Диофант от Александрия написва първото съчинение по алгебра
ок. 600 В Индия започва да се използва десетичната позиционна система
829 Перс. математик Мохамад ибн Муса ал Хорезми използва десетичната бройна система; от преводите на съчиненията му на латински по-късно и европейски учени се запознават със системата
876 В Индия е въведен символ за означаване на нулата

1000 – 1599

1202 Италианският математик Леонардо Фибоначи изучава числовата редица 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, в която всяко число е сбор на предхождащите го две числа
1550 Германският математик Г. фон Лаухен (латинско име Ретикус) публикува седемзначни тригонометрични таблици (за пръв път съдържащи стойностите и на секансите)

1600 – 1699

1614 Джон Непер открива логаритмите
1623 Германският математик и астроном В. Шикард конструира механична сметачна машина, извършваща 4-те аритметични действия
1637 Р. Декарт създава аналитичната геометрия (книгата „Геометрия“); пръв нарушава традицията научните трудове да се публикуват само на латински език
1654 Блез Паскал и Пиер дьо Ферма започват изграждането на теорията на вероятностите
1666 В Англия И. Нютон развива диференциално смятане като метод за пресмятане на моментни скорости (флуксионно смятане)
1675 Г. Лайбниц прави първите си изследвания по диференциално и интегрално смятане; предложените от него математични знаци и символи се използват и днес
1679 Г. Лайбниц въвежда двоичната аритметика, в която всички числа се представят само с два символа
1684 Г. Лайбниц публикува първото съчинение по диференциално смятане

1700 – 1799

1713 В съчинението си „Изкуството за предположения“ Якоб Бернули формулира първия закон за големите числа от теорията на вероятностите
1718 Й. Бернули дава общо определение за понятието функция
1744 Швейцарският математик Л. Ойлер публикува първия трактат по вариационно смятане
1747 Ж. д’Аламбер използва частни диференциални уравнения в задачи от физиката
1798 Датският математик от норвежки произход К. Весел въвежда векторното представяне на комплексни числа
1799 К. Ф. Гаус доказва основната теорема на алгебрата: броят на решенията на алгебричното уравнение е равен на степента на уравнението

1800 – 1899

1810 Ж. Фурие публикува метод за представяне на функциите чрез тригонометрични редове
1812 П. Лаплас публикува първото цялостно и подробно изложение на теорията на вероятностите
1822 Във Великобритания Ч. Бабедж започва конструирането на първия механичен компютър – диференчната машина за пресмятане на логаритми и тригонометрични функции, въвежда (1834) и записващото механично устойство, перфокартата и табулатора
1827 К. Ф. Гаус полага началото на диференциалната геометрия на повърхнините
1829 Н. И. Лобачевски открива нова геометрична система – хиперболичната неевклидова геометрия, в която са валидни аксиомите на Евклид, с изключение на аксиомата за успоредните прави; Е. Галоа създава теорията на групите, в която въвежда употребяваните и днес основни термини
1844 Фр. математик Ж. Лиувил доказва съществуването на трансцендентни числа; в Германия Х. Грасман публикува първото систематично изследване на вектори с повече от 3 измерения
1854 Във Великобритания Дж. Бул публикува символичната си формална логика (по-късно наречена булева алгебра)
1858 Английският математик А. Кейли разработва смятане с правоъгълни таблици, наречени от него матрици; в Германия А. Ф. Мьобиус описва едностранна повърхнина (Мьобиусов лист)
1859 Б. Риман полага основите на аналитичната теория на числата
1892 Г. Кантор доказва, че има различни видове безкрайност и изследва трансфинитните числа
1895 Ж. Поанкаре публикува първата статия по топология
1899 Д. Хилберт дава пълна аксиоматична обосновка на евклидовата геометрия в съчинението си „Основи на геометрията“

1900 – 1999

1914 Ф. Хаусдорф в книгата си „Теория на множествата“ дава аксиоматична дефиниция на понятието топологично пространство
1931 В САЩ математикът от австрийски произход К. Гьодел доказва, че която и да е аксиоматична система, достатъчно силна, за да включва аритметиката на естествените числа, е или непълна, или противоречива
1932 Полският математик С. Банах публикува книгата „Теория на линейните операции“, с която полага основите на функционалния анализ
1933 А. Колмогоров дава първата аксиоматична обосновка на теорията на вероятностите
1937 Създава се група от френски математици, които под псевдонима Н. Бурбаки започва издаването (1939) на многотомен трактат „Елементи на математиката“; английският инженер и математик А. Тюринг публикува математическата теория на пресмятането (обяснява понятието алгоритъм, дава преобразувания на алгоритми и програми и др.); американският (от български произход) физик и математик Дж. Атанасов формулира основните принципи на компютъра и разработва схеми на електроннолампови устройства за различни математични операции
1942 Дж. Атанасов и сътрудникът му К. Бери построяват първия специализиран електронен цифров компютър „ABC“ (с интегриращи кондензатори и 300 електронни лампи); въвеждането и извеждането на информацията е с перфокарти
1944 В САЩ Дж. фон Нойман и О. Моргенщерн създават теорията на игрите
1946 В Пенсилванския университет, САЩ, е пуснат в действие първият универсален електронен цифров компютър ENIAC (с 18 000 електронни лампи)
1948 Н. Винер публикува книгата „Кибернетика“
1961 В САЩ метеорологът Е. Лоренц, като използва компютър при изследване на хаотични метеорологични процеси, създава математична система, която е основна в теорията на хаоса
1962 В САЩ френският математик Б. Манделброт въвежда геометрия на фракталите
1963 Американският математик П. Коен доказва независимостта на хипотезата на Г. Кантор за континуума от останалите аксиоми на теорията на множествата
1975 Американският математик М. Файгенбаум открива нова константа (≈ 4, 6692016…), играеща важна роля в теорията на хаоса
1976 Американските математици К. Апел и В. Хакен обявяват решението на знаменития проблем за 4-те цвята (4 цвята са достатъчни за оцветяване на всяка равнинна карта)
1980 След 35-годишен труд на стотици математици от цял свят е завършена класификацията на всички крайни и прости групи; резултатите заемат над 14 000 страници
1989 Група математици – компютърни специалисти на Амдал корпорейшън, Калифорния, намира най-голямото известно неделимо число (съдържащо 65 087 цифри)
1994 Британският математик А. Уайлз публикува доказателство (около 150 страници) на последната теорема на Ферма, едно от най-големите предизвикателства на чистата математика
1996 Доказателството на А. Уайлз (в преработен вид) е признато