Вариационно смятане

Вариационно смятане се нарича дял от математическия анализ, изучаващ малките вариации във функциите и функционалите
и методите за намиране на техни екстремуми — максимуми и минимуми (локални и глобални). Основен метод на вариационното смятане е уравнението на Ойлер—Лагранж:

$\delta I(x,\delta x)=0$,

за $I=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t$

като се изобразяват математически набор от техните функции към реални числа, като център на тези изчисления е

Функционал се нарича всяко изображение от някакво множество от функции към някакво числово множество. Типичен пример за функционал е определеният интеграл при фиксирана горна и долна граница.

Вариационното смятане намира широко приложение в различни научни дисциплини: в геометрията, топологията, механиката, оптиката.

Началото на вариационното смятане е положено през XVII век от Ойлер и Лагранж. Исторически първата задача на вариационното смятане е задачата за брахистохроната, поставена още от Галилей. Готфрид Лайбниц и Йохан Бернули обръщат внимание на задачата за геодезичните линии и изопериметричната задача. Понятието геодезична линия обобщава понятията права линия и отсечка от евклидовата геометрия, когато тримерното евклидово пространство се заменя с повърхнина или пространство от по-общ вид: геодезична линия е линията с най-малка (или най-голяма) дължина, свързваща две точки.

Вариационното смятане е свързано с различни дялове на физиката, съдържащи т.нар. вариационни принципи. Пример за такъв принцип в класическата механика е принципът за минималност на действието: от всички възможни траектории, свързващи началното и крайното положение на движещо се тяло, тялото се движи по онази траектория, която минимизира т.нар. действие. Пример за вариационен принцип в оптиката: при отражение, пречупване и безпрепятствено разпространение светлината се движи по най-бързия път. (Той не е непременно най-късият.)

Съвременното вариационно смятане има две главни направления: глобално вариационно смятане и теория на оптималното управление. Първото е свързано с топологията. Развива се през XX век (затворени геодезични линии върху риманово многообразие, неравенства на Морс). Другото направление възниква след Втората световна война и в зародишна форма е подбудено от инженерни проблеми на ракетната техника, след което намира множество други приложения. Обобщено е в различни направления, например в диференциалната геометрия върху диференцируеми многообразия и многомерни повърхнини, при случайните процеси (клон от теорията на вероятностите). В тази дисциплина имат принос мнозина математици от 60-те години на XX век: Р. Белман, Л. Понтрягин и др.

Библиография

• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98.
• Roubicek, T.: "Calculus of variations". Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, Шаблон:Isbn, pp. 551 – 588.
• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.

Външни препратки

• Моисеев Н.Н., глав. ред. Прохоров А.М. Вариационное исчисление // Большая советская энциклопедия. 3 изд. Т. 4 (от 30), Брасос – Веш. Москва, Издателство „Съветска енциклопедия“, 1971. с. 303 – 305. Посетен на 29 март 2017. (на руски)((ru))

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.