Херонова формула

В геометрията Хероновата формула изразява площта на триъгълник чрез трите му страни. За разлика от нея, други формули за площта на триъгълник изискват основа и височината към нея или използват тригонометрични функции. Хероновата формула е публикувана за пръв път през 60 г. сл. Хр. в книгата „Метрика“ на древногръцкия изобретател, физик и математик Херон Александрийски.

Формулировка

В геометрията Хероновата формула служи за намиране на лице на произволен триъгълник по дадени 3 негови страни.

В най-опростения си вид изглежда така:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$,

където $a$, $b$ и $c$ са дължините на страните на триъгълника, а $p={\frac {a+b+c}{2}}$ и се нарича полупериметър на триъгълника.

Хероновата формула може да бъде представена

и така:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.$

Предполага се, че формулата е открита от Архимед. Формулата с нейното доказателство е включена в Метрика, книга на Херон Александрийски, писана около 60 г.

За произволен вписан четириъгълник със страни от $a$, $b$, $c$ и $d$ е вярно, че $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ (Формула на Брахмагупта)

Примери

Нека △ABC бъде триъгълник със страни a = 4, b = 13 и c = 15. Полупериметърът е

$p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16$, а площта е

${\begin{aligned}A&={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}$

В този пример дължините на страните и площта са цели числа, което означава, че това е Херонов триъгълник. Хероновата формула обаче работи също толкова добре и в случаите, когато едно или всички от числата не са цели.

История

За създател на формулата се приема Херон Александрийски и доказателството може да бъде открито в книгата му „Метрика“, написана през 60 г. сл. Хр. Предполага се, че Архимед е знаел формулата над 200 години по-рано и тъй като „Метрика“ е сборник с математически знания на Древния свят, е възможно тя да е съществувала и преди публикуването ѝ в книгата на Херон Александрийски.

Формула, подобна на Хероновата, която гласи

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$, където a ≥ b ≥ c,

е била открита от китайците, независимо от гърците. Публикувана е през 1247 г. в „Математически трактат от 9 глави" на Цин Дзюшао.

Доказателства

Първоначално за доказването на Хероновата формула са били използвани циклични четириъгълници, но други аргументи се позовават на тригонометрията (като примерите по-долу) или на един вътрешен и външен кръг за триъгълника.

Тригонометрично доказателство с помощта на косинусова теорема

Съвременно доказателство, което използва алгебра и е съвсем различно от предоставеното от Херон в „Метрика“. Нека a, b, c са страните на триъгълника, а α, β, γ са срещуположните им ъгли. От косинусовата теорема получаваме

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

От това доказателство получаваме алгебричното уравнение

.$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

Височината на триъгълника към страна a има дължина b sin γ и оттам следва:

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

Алгебрично доказателство с помощта на Питагоровата теорема

Спрямо горната фигура от Питагоровата теорема получаваме $b^{2}=h^{2}+d^{2}$ и $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$. Като извадим резултатите a² и b², получаваме $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd$. Това уравнение ни позволява да получим стойността на d спрямо страните на триъгълника:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}$

За височината на триъгълника h имаме $h^{2}=b^{2}-d^{2}$. Като заменим d в горната формула и приложим разликата от квадратите, получаваме:

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}$

Сега прилагаме резултата към формулата, която изчислява площта на триъгълник по височината му:

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

Тригонометрично доказателство с помощта на Котангенсовата теорема

От първата част на доказателството на Котангенсовата теорема получаваме, че площта на триъгълника е както

${\begin{aligned}A&=r{\big (}(s-a)+(s-b)+(s-c){\big )}=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\\end{aligned}}$

така и A = rs, но тъй като сумата на полу-ъглите е π/2, се прилага тройната идентичност на котангенс, затова първият резултат на A става

${\begin{aligned}A&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\\\end{aligned}}$

Като комбинираме двете доказателства, получаваме търсения резултат

$A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)$

Изчислителна устойчивост

Хероновата формула, както е описана по-горе, е изчислително неустойчива за триъгълници с много малък ъгъл, когато се използва аритметика с плаваща запетая. Устойчива алтернатива включва подредба на страните според дължината им, така че a ≥ b ≥c и уравнението става

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.$

Скобите в горната формула са необходими, за да се избегне изчислителната нестабилност.

Други формули за площ, наподобяващи формулата на Херон

Три други формули, имат същата структура като Хероновата формула, но се изразяват с помощта на различни променливи. Първо, като обозначим медианите от страните a, b, и c съответно с m_a, m_b, и m_c и тяхната полу-сума ${\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c})$ като σ, получаваме

$A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

После, като обозначим височините от страни a, b, и c съответно като h_a, h_b, и h_c и обозначим полу-сумата от реципрочните стойности на височините като $H={\tfrac {1}{2}}(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})$, получаваме

$A^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$

Накрая обозначаваме полу-сумата на синусите на ъглите като $S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )$ и получаваме

$A=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}},$

където D е диаметърът на окръжността: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}+{\tfrac {b}{\sin \beta }}+{\tfrac {c}{\sin \gamma }}$.

Обобщение

Хероновата формула може да се разглежда като специален случай на формулата на Брахмагупта за изчисляване площта на четириъгълник. И двете формули са специални случаи на формулата на Бретшнайдер за изчисляване площта на четириъгълник. Хероновата формула може да бъде изведена от формулата на Брахмагупта или формулата на Бретшнайдер като се приеме, че една от страните на четириъгълника е равна на 0.

Хероновата формула, също така, може да се разглежда и като специален случай на формулата за изчисляване площта на трапец по размерите на неговите страни. Тук формулата може да бъде изведена като приемем, че по-малките страни на фигурата са равни на 0.

Хероновата формула, изразена чрез Cayley-Menger determinant, от гледна точка на формулата за изчисление площта на квадрат, по дадени три негови върха, илюстрира приликата и с Tartaglia's formula за изчисляване на обем.

$A={1 \over 4}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}$

Формула от Херонов тип за изчисляване обема на тетраедър

Ако U, V, W, u, v, w са дължините на ъглите на произволен тетраедър (първите три формират триъгълник, а u е срещуположно на U, v е срещуположно на V и w е срещуположно на W), тогава

$volume={{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}} \over 192uvw}$

където

${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}$