Триъгълник

Вижте пояснителната страница за други значения на Триъгълник.

---

Триъ̀гълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла. Може да се дефинира и като част от равнината, ограничена от три точки, нележащи на една права, и трите отсечки, съединяващи тези точки. Триъгълникът няма диагонали, защото всеки връх е съседен на другите два.

Диаграма на Ойлер за видовете триъгълници.

Основни елементи и съотношения

Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от Евклид в книги 1 – 4 от „Елементите“ около 300 г. пр. н. е.

Основните елементи на триъгълника са върховете, страните и ъглите. Стандартните им означения в произволен триъгълник са дадени на следващия чертеж:

Триъгълник със стандартни означения

Върховете на триъгълника ABC са три точки $A,B$ и $C$, нележащи на една права линия. Те определят равнината, в която лежи триъгълникът.

Страните са отсечките, свърващи върховете:
$BC=a$, $AC=bB$ и $AB=c$.

За страните на всеки триъгълник са изпълнени неравенствата:

• $a<b+c$,
• $b<a+c$,
• $c<a+b$.

Ъглите на триъгълника са вътрешни и външни. Вътрешните ъгли са заключени между страните на триъгълника, а външните са съседни ъгли на вътрешните и ги допълват до 180°. Ако не е уточнено, под ъгли на триъгълника се разбират вътрешните ъгли. На чертежа те са означени с гръцките букви алфа, бета и гама или с едноименните върхове:

• ъгъл $BAC=A=\alpha$,
• ъгъл $CBA=B=\beta$,
• ъгъл $ACB=C=\gamma$.

За вътрешните ъгли на всеки триъгълник е изпълнено равенството $\alpha +\beta +\gamma =180$°.

Видове триъгълници

В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде:

• Равностранен триъгълник – дължините на трите страни са равни; ъглите също са равни и всеки от тях е 60°.
• Равнобедрен триъгълник – дължините на две от страните, наречени бедра, са равни, а третата се нарича основа; ъглите при основата са равни.
• Разностранен триъгълник – всичките му страни са с различни дължини и има три различни ъгъла.

Равностранен триъгълъник

Разностранен триъгълник

Равнобедрен триъгълник

Според големината на най-големия си вътрешен ъгъл, триъгълникът може да бъде:

• Правоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има ъгъл от 90° (прав ъгъл). Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна в правоъгълния триъгълник. Сборът от ъглите при хипотенузата е 90°. Другите две страни се наричат катети.
• Тъпоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл, по-голям от 90°. Сборът на другите два ъгъла е по-малък от 90°.
• Остроъгълен триъгълник е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90° (остри ъгли).

Правоъгълен триъгълник	Тъпоъгълен триъгълник	Остроъгълен триъгълник

Сходства на триъгълници

Еднаквост

Два триъгълника са еднакви, ако съответните им страни и ъгли са равни. Има четири признака за еднаквост на триъгълници:

1. Ако две страни и ъгъл заключен между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла заключен между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по първи признак)

2. Ако два ъгъла и страна на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и страна на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

3. Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

4. Ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Съществува един често срещан частен случай на четвъртия признак:

Ако катет и хипотенуза в триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза в друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. (Уточнение: Третият елемент е правият ъгъл.)

Подобие

Два триъгълника са подобни, ако ъглите на единия са равни на ъглите на другия и страните, които съединяват върховете на равните ъгли, са пропорционални. Има три признака за подобни триъгълници:

1. Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.

3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

Център на описаната окръжност

Точки, прави и окръжности

• Описана около триъгълник окръжност се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха.

Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник, и описаните около тях окръжности

• Симетрали в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.

• Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав. Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.

Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър

• Височини в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.

Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност

• Ъглополовящи в един триъгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на вписаната в триъгълника окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни. Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.

Медицентърът е центърът на тежестта

• Медиани в триъгълника са правите, които минават през върховете и средите на срещулежащите им страни. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър на триъгълника. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от медицентъра до средата на срещулежащата страна.

9-точкова окръжност

• Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност – окръжността на деветте точки. Останалите три точки са среди на отсечките от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Права на Ойлер (червената линия)

• Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центърът на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една права линия, известна като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност е средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равно на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази права.

• Средна отсечка на триъгълник е отсечка, съединяваща средите на две от неговите страни. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата страна на триъгълника. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.

Лице на триъгълник

Изчисляването на лицето на триъгълник може да стане по няколко начина:

• Геометрично:

Лицето $S$ на триъгълник е равно на полупроизведението на дължината на която и да е негова страна и височината, спусната към нея.

$S={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$ За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта на $180^{\circ }$, и то се долепва до първия триъгълник, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепва от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е $bh$, то лицето на триъгълника е ${\frac {1}{2}}bh$.

• Векторно:

Лице на триъгълник с вектори

Лицето на успоредника $ABCD$ може да бъде представено с помощта на векторното произведение $\Vert \mathbf {AB} \times \mathbf {AC} \Vert$. Понеже лицето на триъгълника $ABC$ е половината от това на успоредника, то $S={\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {AB} \times \mathbf {AC} \Vert$.

• С помощта на тригонометрични функции:

Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на чертежа вдясно, височината е $h=a\sin \gamma$. Замествайки $h$ във формулата $S={\frac {1}{2}}bh$, лицето на триъгълника може да бъде изразено като $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$.

• С помощта на координатна система:

Нека върховете на триъгълникът са зададени с координатите си $A=(x_{1},y_{1})$, $B=(x_{2},y_{2})$ и $C=(x_{3},y_{3})$. Тогава лицето му може да бъде пресметнато по следния начин:

$S={\frac {1}{2}}\left|\mathrm {det} \left({\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{matrix}}\right)\right|$

Ако върхът $A=(0,0)$ е в началото на координатната система, тогава:

$S={\frac {1}{2}}\left|\mathrm {det} \left({\begin{matrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{matrix}}\right)\right|$

или

$S={\frac {1}{2}}\left|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right|$

• Херонова формула:

Нека с $p$ бележим полупериметъра на триъгълника. Тогава:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Формулата на Херон е числово нестабилна за триъгълници с много малък ъгъл. Една стабилна алтернатива включва подреждане на дължините на страните така, че a ≥ b ≥ c и изчислението

$S=1/4{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}$.

Скобите в горната формула са необходими, за да се предотврати числена нестабилност в оценката.

Синусова и косинусова теореми

Синусова теорема:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$

където $R$ е радиусът на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъгълник, ако са известни една страна и два прилежащи ъгъла. Чрез нея може да се определи и сключеният ъгъл между двете известни страни, ако се знае един от другите два ъгъла.

Косинусова теорема:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .$

В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните или две от тях и ъгъла, сключен помежду им.

Триъгълници в неевклидови геометрии

Ако всеки четири от елементите на триъгълник (върхове и/или елементи от страните му) са в една равнина един спрямо друг, триъгълникът се нарича „равнинен“. Ако триъгълникът не лежи изцяло в една равнина, то за него важат формулите на т. нар. неевклидова геометрия, а не на посочените по-горе. Например въображаем триъгълник върху земната повърхност с върхове върху екватора на 0° и 90° дължина, и Северния полюс, които вместо върху равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сборът им не е 180°. Неевклидовите геометрии изучават неравнинни триъгълници, като сферични триъгълници в сферична геометрия и хиперболични триъгълници в хиперболична геометрия.

Аналози

• Тетраедър
• Пентахрон