Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°). Останалите 2 ъгъла са остри.

Страни

Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.

Зависимостта между дължините на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема.

Отношението на дължините на които и да е две страни се изразява с тригонометрична функция.

Свойства

Питагорова теорема: Сумата от квадратите на дължините на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ .

Обратна теорема на Питагоровата теорема: Ако сумата от квадратите на дължините на две страни на триъгълник е равна на квадрата от дължината на третата страна, то триъгълникът е правоъгълен.

Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата.

Това лесно се доказва с помощта на насочени отсечки.

Ако разгледаме насочените отсечки ${\vec {AB}},{\vec {BC}},{\vec {AM}}$ , то за триъгълника АМС е изпълнено: ${\vec {AM}}={\vec {AB}}+{\vec {BC}}/2\,$ , а за триъгълника АВС е изпълнено: ${\vec {BC}}={\vec {BA}}+{\vec {AC}}\,$ , откъдето следва, че: ${\vec {AM}}=({\vec {AB}}+{\vec {AC}})/2\,$ , тъй като ${\vec {BA}}=-{\vec {AB}}$ . Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим: AM² = (AB² + AC²)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).

От Питагоровата теорема, за триъгълника ABC е в сила равенството: BC² = AB² + AC², откъдето следва, че: AM = BC/ 2.

Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на дължините на катетите.

Теорема на Талес: Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.
Ако един от острите ъгли е равен на 30 градуса, то катетът, лежащ срещу този ъгъл, е равен на 1/2 от хипотенузата.

Вижте също