Квадратна функция

Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax² + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа.

Квадратната функция е цяла рационална функция.

Графика и свойства

Графиката на такава функция с реални коефициенти е парабола, която пресича абцисната ос в точки с координати A(x₁,0) и B(x₂,0), когато дискриминантата $D=b^{2}-4ac$ на квадратното уравнение f(x) = 0 е положителна. Числата x₁ и x₂ са корени на това уравнение и могат да се намерят по формулата

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

.

Върхът на параболата е точката с координати (-b/2a, -D/4a), а оста ѝ е правата с уравнение x = -b/2a, която минава през върха и е успоредна на ординатната ос.

Когато коефициентът a е равен на 0, квадратното уравнение f(x) = 0 се свежда до решаване на линейното $bx+c=0$ , което при b = 0 няма реални корени, а при b, различно от 0, се получава $x=-{\frac {c}{b}}$ .

При коефициент а ≠ 0 и $D=b^{2}-4ac=0$ уравнението има един двоен корен, който се изчислява по формулата $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$ . В този случай графиката на квадратната функция е парабола, която се допира до абсцисната ос.

Ако дискриминантата на уравнението е отрицателно число, уравнението има само комплексни корени.

За а = 1, b = c = 0 графиката на степенната функция f (x) = x ² е парабола в нормален вид и върхът ѝ съвпада с координатното начало. Тя е разположена симетрично спрямо ординатната ос и е отворена към нейната положителна посока.

При a ≠ 1 графиката на функцията f (x) = а x ² е свита или разтегната относно нормалата парабола в зависимост от това дали a > 1, или a < 1. Когато a < 0, графиката е огледално отразена спряма абсцисната ос. Графиката на функцията f (x) = x² + c се получава от параболата в нормален вид чрез преместване на |c| единици в положителна или отрицателна посока в зависимост от знака на с.

Дефиниционната област на квадратната функция f(x) се разпада на два интервала на монотонност.

При a > 0 квадратната функция е намаляваща в интервала (-∞, -b/2a] и е растяща в интервала [-b/2a, ∞). Във всеки от тези интервали квадратната функция има по една обратна функция. Най-малката стойност на функцията е f(-b/2a).

При a < 0 функцията е растяща в интервала (-∞,-b/2a] и е намаляваща в интервала [-b/2a, ∞). Най-голямата стойност на функцията е f(-b/2a).

Разлагане на линейни множители

Когато квадратният тричлен ax² + b x + c има реални корени x₁, x₂, т.е. когато D ≥ 0, той може да се разложи на линейни множители с реални коефициенти: