Обратна функция

Функцията $f$ и обратната ѝ $f^{-1}$. Ако $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$.

Обратна функция $g(y)$ на функцията $f(x)$ се нарича такава функция, за която $g(f(x))=x$ за всяко x. Най-често за обратна функция се използва означението $f^{-1}(y)$. Функцията $f(x)$ има обратна функция тогава и само тогава, когато тя е биекция.

Дефиниция на обратна функция

Ако функцията $y=f(x)$ е дефинирана и обратима в множеството $D$ и приема стойности в множеството $M$, тогава функцията $x=f^{-1}(y)$ се нарича обратна на $y=f(x)$, ако за всяко $y$, принадлежащо на $M$, съществува единствено $x$, принадлежащо на $D$, за което $y=f(x)$.

Обратима функция

Казваме, че функцията $y=f(x)$ е обратима в множеството $D$, ако за всеки 2 стойности $x1$, $x2$, принадлежащи на $D$, от това, че $x1$ е различно от $x2$ следва, че $f(x1)$ е различно от $f(x2)$.

Всяка монотонна функция е обратима, защото от монотонността следва, че функцията е биекция.

Свойство 1

$arcsin(x)$ (червено) и $arccos(x)$ (синьо) в декартова равнина.

Ако функцията $y=f(x)$ е монотонно растяща/намаляваща в множеството $D$, то обратната и функция $x=f^{-1}(y)$ е монотонно растяща/намаляваща в $M$.

Свойство 2

Графиките на дадена функция и нейната обратна са симетрични спрямо ъглополовящите на първи и трети квадрант.

Примери

Обратната функция на показателната функция е логаритмичната функция.

Тригонометрични функции
Функция	Обратна функция
$sin(x)$	$arcsin(x)$
$cos(x)$	$arccos(x)$
$tg(x)$	$arctg(x)$
$cotg(x)$	$arccotg(x)$
$sec(x)$	$arcsec(x)$
$cosec(x)$	$arccosec(x)$

Примерна задача

Да се намери обратната функция на функцията y = $x^{2}$, x ≥ 0.

Решение:

Функцията y = $x^{2}$, x ≥ 0 е строго растяща, защото от 0 ≤ x1 < x2 следва f(x1)-f(x2) = $x1^{2}$ - $x2^{2}$ = (x1 – x2)(x1 + x2) < 0, т.е. f(x1) < f(x2). Това означава, че функцията y = $x^{2}$ при x ≥ 0 е обратима. От y = $x^{2}$, x ≥ 0 намираме x = √y. Изразът √y има смисъл, защото y ≥ 0. Следователно обратната функция на функцията Функцията y = $x^{2}$ за x ≥ 0 е x = √y, y ≥ 0.