Цяла функция

Цяла функция, в математиката, е всяка комплексно-значна функция, холоморфна върху цялата комплексна равнина (откъдето идва и името - цяла). Множеството от цели функции представлява комутативен пръстен над комплексната равнина.

Една цяла функция може да се развие в сходящ ред или (по теоремата за разлагане на Вайерщрас) в произведение.

От теоремата теоремата на Лиувил следва, че всяка ограничена цяла функция е константа. Прилагайки малката теорема на Пикар получаваме, че всяка цяла функция, различна от константа, може да приема за стойност всяко комплексно число (, евентуално с изключение на едно).

Примери за цели функции са експоненциалната, полиномиалните, сигма-функцията на Вайерщрас и тета-функциите на Якоби.

Целите функции се делят на цели рационални (с полюс в безкрайност - полиномите) и цели трансцендентни (със съществена особеност в безкрайност – напр. $\sin(z)$).

Формално определение

Функцията $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ наричаме цяла, когато реда $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ е сходящ за всяко $z\in \mathbb {C} ,\ c\in \mathbb {C}$. Определението може да се обобщи и за случая на много комплексни променливи $z\in \mathbb {C} ^{n}$

Тази статия за функция все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.