Трансформация на Хаусхолдер

Трансформацията на Хаусхолдер е линейно преобразование $\ H_{u}$ на векторното пространство $\ V$ , което представя отражението му спрямо хиперравнина, която преминава през началото на координатната система.

Предложено е в 1958 г. от американския математик Алстон Скот Хаусхолдер (Alston Scott Householder).

Дефиниции

Операторът на Хаусхолдер се задава с израза

\ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u

където:

u е нормален вектор към хиперравнина, която преминава през началото на координатната система
с $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ е обозначено скаларното произведение в $\ V$

Матрицата на отражение на Хаусхолдер има вида:

\ H=I-2uu^{\dagger }

Матрицата на Хаусхолдер е унитарна ермитова матрица: $\ H=H^{\dagger }.$ В частност, ако елементите на матрицата са реални числа, матрицата на Хаусхолдер е ортогонална матрица $\ H^{-1}=H^{T}$ .
Матрицата на Хаусхолдер е инволюция: $\ H^{2}=I$ .
Трансформацията $\ H_{u}(x)$ изобразява зададен вектор $\ x$ във вектор $\ x-2\langle u,x\rangle u.$
Трансформацията на Хаусхолдер има една собствена стойност равна на (-1), която съответства на собствен вектор $\ u,$ , всички други собствени стойности са равни на (+1).
Детерминантата на матрицата на Хаусхолдер е равна на (-1).

Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339 – 342. DOI:10.1145/320941.320947
Константинов М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици, С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000 г. 300 с.