Собствени стойности и собствени вектори

Червената стрелка сменя посоката си, но не и синята стрелка. Последната представлява собствен вектор и тъй като дължината ѝ също не се променя, то собствената ѝ стойност е 1.

В линейната алгебра собствен вектор на даден линеен оператор е ненулев вектор, чийто образ е колинеарен с първообраза. Коефициентът на пропорционалност се нарича собствена стойност

Формално определение

Нека T е линеен оператор над векторното пространство V, а v е ненулев вектор във V. Векторът v се нарича собствен вектор на T тогава и само тогава, когато

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v}$

за някой скалар λ. Скаларът λ се нарича собствена стойност на T, съответстваща на вектора v.

Съществува биекция между квадратните матрици от тип n × n и линейните оператори над n-мерно векторно пространство (при предварително избран произволен негов базис). В крайномерно векторно пространство V определението по-горе може да се преформулира така:

$A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} ,$

където A е матричното представяне на линейния оператор T, а u е векторът от координатите на v.