Теорема на Тейлър

Теоремата на Тейлър е теорема от математическия анализ. Кръстена е на английския математик Брук Тейлър. Теоремата дава апроксимация на функция в околност на точка чрез многочлен, чиито коефициенти зависят само от производните на функцията в тази точка. Без да дава формално описание на теоремата, астрономът Джеймс Грегъри я използва в трудовете си 41 години по-рано, така че заслугата за откриването ѝ може да бъде дадена на него.

Теоремата за един параметър

Най-простият пример за теоремата е апроксимацията на експоненциалната функция e^x когато х клони към 0. А именно

${\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Формалното изказване на тази теорема е: Ако n ≥ 0 е цяло число и f е функция n пъти диференцируема в отворения интервал (a, x), тогава

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}$

където R_n е остатъчен член, зависещ от x, който клони към 0, когато x клони към a.

Остатъчния член може да се представи в няколко форми.

• При формата на Лагранж се твърди, че съществува число ξ между a и x, такова че

$R_{n}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Така се вижда, че теоремата на Тейлър е следствие на теоремата за крайните нараствания (и точно теоремата за крайните нараствания се използва за доказването на Тейлър с остатъчен член във вид на Лагранж)

• Друга форма за остатъчния член е форма на Коши

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}\,(1-\theta )^{n}$ където $\xi =a+\theta .\,$

Тук той е следствие на фундаменталната теорема на анализа.

За някои функции може да се покаже че остатъчният член клони към 0, когато n клони към ∞. Те могат да се изразят с ред на Тейлър в околоност на a и се наричат аналитични функции.

• Трета форма е формата на Пеано:

$R_{n}=o(|x-x_{0}|^{n})\,$, където x клони към x₀, а o е така наречената, нотация на малкото о

• Четвъртата форма за остатъчния член е интегралната форма. За комплексни функции, диференцируеми в окръжност C около a изразът

$R_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}(z-x)}}dz$

важи в C

Теоремата за няколко параметъра

Теоремата на Тейлър може да бъде генерализирана за няколко параметъра по следния начин. Нека Б e многообразие от тип сфера около точка a, в N-мерното пространство, а f е функция с реални стойности, дефинирана в отворената околност ${\bar {B}}$ и имаща n+1 частни производни във всяка точка. Теоремата твърди, че за всяко $x_{i}\in B$,

$f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }$

където сумата е за мултииндекса α.

Остатъчният член трябва да задоволява неравенството

$|R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {D^{\alpha }f(y)}{\alpha !}}\right|$

за всички α където |α|=n+1.