Мултииндекс

Мултииндекс е вид опростяване на формули в анализа на функции с много параметри, частните диференциални уравнения и теорията за обобщената функция, което генерализира концепцията за целочислен индекс до наредено множество от индекси.

Може да се каже, че N-измерен мултииндекс е N-измерен вектор над естествените числа

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})

За мултииндексите $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}$ и $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ се дефинират:

\alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})

\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i

|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}

\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!

{\alpha  \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}

\mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}

D^{\alpha }:=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}

, където

D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}

Тази нотация позволява разширяването на всяка формула от елементарния анализ до вариант с много параметри. Следват няколко примера на приложението на мултииндексите: