Смяна на променливата

Смяната на променливата, наричана също полагане, е основна математическа техника, използвана за опростяването на задачи чрез замяната на първоначална променлива с функция на друга променлива. Целта е по този начин задачата за стане по-проста или аналогична на друга по-разбираема задача.

Пример

Много прост пример за използване на смяна на променливата е задачата за намиране на корените на следния полином от шеста степен:

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

Полиномните уравнения от шеста степен нямат общо решение, но този частен случай може да се запише и като:

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

Така уравнението може да се опрости чрез дефинирането на нова променлива $u=x^{3}$. Смяната на x с ${\sqrt[{3}]{u}}$ в полинома дава:

$u^{2}-9u+8=0,$

което е просто квадратно уравнение с две решения:

$u=1\quad {\text{и}}\quad u=8.$

Решенията, изразени чрез първоначалната променлива, се получават с обратната замяна на u с x³, която дава:

$x^{3}=1\quad {\text{и}}\quad x^{3}=8.$

Така реалните корени на първоначалното уравнение са:

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{и}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$