Сигнум

Знакова функция или сигнум функция (на латински: signum – знак) е нечетна математическа функция на части, която се определя от знака на реално число. Тя се означава като sgn.

Графика на функцията sgn(x).

Дефиниция

Знаковата функцията от реално число $x$ се дефинира по следния начин:

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0,\\0,&x=0,\\1,&x>0.\end{cases}}$

Често се използва представянето

$\operatorname {sgn} x={\frac {d|x|}{dx}}$

В този случай производната на модула при нула, която, строго погледнато, не е дефинирана, се определя допълнително от средноаритметичната стойност на съответните производни отляво и отдясно.

Свойства

• Функцията не е елементарна.
• Дефиниционна област: $\mathbb {R}$.
• Област на стойностите: $\{-1;0;+1\}$.
• Функцията е нечетна.
• Функцията е гладка във всички точки, освен нула.
• Точката $x=0$ е точка на прекъсване от първи род, тъй като границите отляво и отдясно на нулата са равни съответно на $-1$ и $+1$.
• $\operatorname {sgn}(x)={x \over |x|}={|x| \over x}$ при $x\neq 0$, т.е.

$x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,$ и $\,|x|=\operatorname {sgn}(x)\cdot x\,$ за $\forall x\in \mathbb {R}$.

• $\operatorname {sgn} x=x'$.
• $\operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt$.
• ${\frac {d(\operatorname {sgn} x)}{dx}}=2\cdot \delta (x)$, където $\delta (x)$ е делта-функция на Дирак.
• $\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)$.

Функцията се използва в теорията на обработката на сигнали, в математическата статистика и други клонове на математиката, където се изисква компактна нотация, за да се посочи знакът на число.

Вижте също

• Функция на Хевисайд

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.