Построения с линийка и пергел

Построение с линийка и пергел на правилен шестоъгълник.

Построенията с линийка и пергел са класически вид геометрични задачи за построение, известни от античността. При тях могат да се използват само два абстрактни чертожни инструмента:

• линийка без деления, за която се приема, че има само един праволинеен ръб и е неограничена, с нейна помощ може да се построи права през всеки две точки; и
• пергел, за който се приема, че може да начертае окръжност с произволен център и произволен радиус.

Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за начертаване на прав ъгъл).

Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на корен квадратен.

В България този вид задачи започват да се преподават в 7 клас на средното общообразователно училище.

Решими задачи

Сред лесните задачи за построение с линийка и пергел, които се изучават и в училище, са:

Основни построителни задачи

• построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл,
• построяване на симетрала на дадена отсечка,
• построяване на перпендикуляр от точка към права,
• построяване на ъглополовяща на даден ъгъл,
• построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка.

Построяване на триъгълник

• по дадени две страни и ъгъл между тях,
• по дадени страна и два прилежащи към тази страна ъгли,
• по дадени три страни,
• построяване на правоъгълен триъгълник по катет и хипотенуза.

Построяване на успоредник

• по дадени две страни и ъгъл
• по дадени два диагонала и ъгъл между тях

Известна е теоремата на Гаус-Ванцел:

Правилен n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел, ако и само ако n е произведение от степен на 2 и различни прости числа на Ферма, т.е. ако и само ако n е във вида n = 2^kp₁p₂…p_s, където k е неотрицателно цяло число, а p_i са различни прости числа на Ферма.

Нерешими задачи

Теорията на Галоа доказва, че следните класически задачи са нерешими чрез построения с линийка и пергел:

Делоска задача

Даден е куб с дължина на ръба $a$. Задачата изисква да се построи страната на куб с два пъти по-голям обем от дадения, т.е. отсечка с дължина $a{\sqrt[{3}]{2}}$

Задача за квадратурата на кръга

Тя търси да построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина ${\sqrt {\pi }}$, което е невъзможно, тъй като π е трансцендентно число.

Трисекция на ъгъл

Задачата изисква произволен ъгъл с големина $\alpha$ да се раздели на три равни части, или с други думи по отсечка с дължина $\cos \alpha$ да се построи отсечка с дължина $\cos(\alpha /3)$. Това изисква решаването на уравнението $4(\cos(\alpha /3))^{3}-3\cos(\alpha /3)-\cos \alpha =0$, което няма алгебрично изражение чрез квадратни корени.

Външни препратки

• Интерактивни JAVA визуализации на множество построения с линийка и пергел