Овал на Касини

Овал на Касини или крива на Касини е плоска алгебрична крива от четвърта степен, представляваща множеството от точките, произведението на разстоянията от които до две зададени точки е постоянно число (лемниската с два фокуса).

В декартова координатна система с начало средата на отсечката между двата фокуса и абсциса по продължение на същата отсечка, уравнението на овала на Касини е

(x^{2}+y^{2}+c^{2})^{2}-4c^{2}x^{2}=a^{4}

,

където c е половината от разстоянието между фокусите, т.е. координатите на фокусите са F₁(c,0) и F₂(-c,0).

В полярна координатна система уравнението на кривата е

r^{2}=c^{2}\cos 2\varphi \pm {\sqrt {c^{4}\cos ^{2}2\varphi +a^{4}-c^{4}}}

,

което се получава след полагане на $x=r\cos \varphi$ и $y=r\sin \varphi$ .

Класификация

Овалите на Касини като сечения на тор с равнина

Формата на един овал на Касини зависи от отношението между a, c и $c{\sqrt {2}}$ . Пълното разбиране за същността на кривата на Касини идва когато се даде нейната геометрична визуализация: а именно кривата на Касини представлява сечение на тор с равнина успоредна на оста на ротация. Формата на кривата зависи от това къде ще бъде отсечен торът.

При a < c овалът на Касини се състои от две поотделно свързани затворени изпъкнали криви.

При a = 0, двете примки се израждат до симетрични окръжности.
При 0 < a < c, кривата се разпада на две симетрични относно ординатата половини, наричани „примки“ или „яйца“ ([1]^{[неработеща препратка]}).

При $a\geq c$ , кривата е едносвързана. Пресича оста x в точките $S_{1}(-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}},0)$ и $S_{2}({\sqrt {a^{2}+c^{2}}},0)$ , а пресича оста y в точките $N_{1}(0,-{\sqrt {a^{2}-c^{2}}})$ и $N_{2}(0,{\sqrt {a^{2}-c^{2}}})$ .

В частния случай a = c се получава лемнискатата на Бернули, за която точките $N_{1},N_{2}$ съвпадат, т.е. кривата има една точка на самопресичане ([2]).
При $c<a<c{\sqrt {2}}$ , овалът на Касини се вдлъбва и точките $N_{1}$ и $N_{2}$ вече играят ролята съответно на локални максимум и минимум. Освен тях овалът има още 4 инфлексни точки и още 4 локални екстремума. В математическия фолклор кривата в този случай се нарича също „фъстък“ ([3]^{[неработеща препратка]}).
За $a=c{\sqrt {2}}$ , кривината в точките $N_{1}$ и $N_{2}$ е нула. В околност на тези точки допирателните към овала на Касини съвпадат с кривата.
При $a\geq c{\sqrt {2}}$ , точките $N_{1}$ и $N_{2}$ играят ролята съответно на минимум и максимум. Кривата е изпъкнала и поради формата си шеговито е наричана „пъпеш“.

История

Около 1680 Джовани Касини е изследвал фамилия криви, които е смятал че описват орбитата на земята около слънцето. Частния случай при a = c е изследван през 1694 г. от Якоб Бернули, който обаче не е имал представа за връзката между неговата крива и овалите на Касини. Тази връзка, както и представянето на овалите като сечения на тор с равнина се установява едва през XIX в.

Външни препратки