Обратима матрица

Дадена квадратна матрица $\mathbf {A}$ се нарича обратима или още неособена, ако съществува квадратна матрица $\mathbf {A} ^{-1}$ от същия ред, такава че $\mathbf {A} .\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}.\mathbf {A} =E_{n}$, където $E_{n}$ е единичната матрица. Матрицата $A^{-1}$ се нарича обратна на $A$.

Ефикасен метод за намиране на обратната матрица на дадена матрица е метода с адюнгираните количества. По този метод, аналитичната формула за обратната матрица е:

$\mathbf {A} ^{-1}={1 \over \operatorname {det} \mathbf {A} }\left(\mathbf {C} _{ij}\right)^{\mathrm {T} }={1 \over \operatorname {det} \mathbf {A} }\left(\mathbf {C} _{ji}\right)={1 \over \operatorname {det} \mathbf {A} }{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{j1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{j2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1i}&\mathbf {C} _{2i}&\cdots &\mathbf {C} _{ji}\\\end{pmatrix}}$

Където $\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\operatorname {det} \mathbf {A} _{ij}\,$, а $\operatorname {det} \mathbf {A} _{ij}\,$ е детерминантата на матрицата $\mathbf {A}$, от която са махнати реда $i$ и колоната $j$.

Свойства на неособените матрици

Нека A е квадратна матрица с n реда и n колони върху дадено поле $K$ (например, полето на реалните числа - $R$). Следните свойства са еквивалентни:

• A е неособена (обратима).
• det A ≠ 0.
• Единственото решение на уравнението Ax = 0 е x = 0
• Уравнението Ax = b има единствено решение за дадено b $\in$$K^{n}$.
• Колоните на A са линейно независими вектори.
• Колоните на A са базис на $K^{n}$.
• Линейното зачеване x $\leftarrow$ Ax е биекция от $K^{n}$ към $K^{n}$.
• Матрицата, получена с транспониране на A: A^T също е неособена
• Произведението на A с матрицата, получена с транспониране на A (A^T × A) също е неособена
• Нулата не е собствена стойност на A

Обратната на обратима матрица A също е обратима, с

$\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{-1}=\mathbf {A}$.

Обратната на обратима матрица, умножена по ненулева скаларна величинаk е равна на произведението на обратната матрица с обратната стойност на скалара:

$\left(k\mathbf {A} \right)^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$.

За обратима матрица A, транспонираната на обратната е равна на обратната на транспоринарана:

$(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,$

Произведението на две неособени матрици A и B с еднакъв размер е също така обратимо, като обратната на произведението матрица е:

$\left(\mathbf {AB} \right)^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$

(Важно е да се отбележи, че редът на множителите не е същият). Като следствие от това, множеството от неособени n × n матрици образува група, която се бележи с Gl(n).