Механика на Лагранж

Серия статии на тема Класическа механика

Импулс  · Сила  · Енергия  · Работа  · Мощност  · Скорост  · Ускорение  · Инерционен момент  · Момент на сила  · Момент на импулса Основни понятия Пространство  · Време  · Маса  · Тегло  · Гравитация Формулировки Нютонова механика  · Механика на Лагранж  · Хамилтонова механика  · Раздели Кинематика  · Динамика  · Приложна механика  · Небесна механика  · Статистическа механика  · Механика на флуидите Закони за запазване Закон за запазване на механичната енергия  · Закон за запазване на импулса  · Закон за запазване на момента на импулса Учени Галилео Галилей  · Йохан Кеплер Исак Нютон  · Леонард Ойлер Пиер-Симон Лаплас  · Жан Лерон д'Аламбер Жозеф Луи Лагранж  · Уилям Роуън Хамилтон Огюстен Луи Коши

Механика на Лагранж е преформулировка на класическата механика, въведена от Жозеф Луи Лагранж през 1788 г.

Уравнение на Лагранж

Уравненията, описващи движението в механиката на Лагранж, са известни още като уравнения на Лагранж-Ойлер.

Дадена е частица с маса m и позиция, описвана с векторна координата r. Силата, действаща върху тази частица, може да се определи като градиент на скаларния потенциал на енергийната функция V(r, t):

$\mathbf {F} =-\nabla V.$

Тъй като силата е независима от третата или по-висока степен производна на r, вторият закон на Нютон се свежда до 3 диференциални уравнения от втори род. Следователно движението е функция на 6 независими променливи или степени на свобода. Очевиден е набора от координати в декартова координатна система { rj, r′j | j = 1, 2, 3} и техните производни: в точка {x,y,z} скоростите:

{$v_{x},v_{y},v_{z}$}

Най-общо можем да се вземат обобщени координати $q_{j}$ и техните времеви производни ${\dot {q_{j}}}$. Позицията на вектора r се описва чрез следното трансформационно равенство:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},q_{j},q_{k},t)$

За пример се взема махало с дължина l, избира се за координата ъгълът на отклонение спрямо вертикалата θ и се получава следното трансформационно уравнение:

$\mathbf {r} (\theta ,\theta ',t)=(l\sin \theta ,l\cos \theta )$.

Разглеждаме произволно движение на махалото. Работата, извършена от приложената силаF е δW = F · δr.

Ползвайки закона на Нютон получаваме:

${\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&m\mathbf {r} ''\cdot \delta \mathbf {r} .\end{matrix}}$

След като работата е скаларна величина, може да се пренапише равенството чрез използване на общите координати и техните призводни – скоростите.

От лявата страна има:

${\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\nabla V\cdot \sum _{i}{\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i,j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}$

От дясната страна е по-трудно, но след преобразуване се получава:

$m\mathbf {r''} \cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_{i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}$

където T = 1/2 m r′ ² е кинетичната енергия на частицата. Уравнението за извършената работа е:

$\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.$

Това уравнение би трябвало да е вярно за коя да е координатна ос: δq_i, следователно се получава:

$\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]=0$

за всяка координата δq_i. Може още да се опрости това уравнение, забелязвайки, че V е функция само на r и t, и r е функция само на координатите и на t. Следователно V е независимо от скоростите.

${d \over dt}{\partial {V} \over \partial {q'_{i}}}=0.$

Замествайки това в предишното уравнение и заменяйки L = T – V, се получава уравнението на Лагранж:

${\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {q'_{i}}}$.

L = T – V – оператор на Лагранж

Има по едно уравнение на Лагранж за всяка от координатните оси qi.

Когато qi = ri – тоест при декартови координати уравнението на Лагранж се свежда до втория закон на Нютон.

Същото уравнение може да бъде изведено и за система с N частици. Ще се получат 6N общи координати, свързани с 3N трансформационни уравнения. Във всяко едно от тези 3N на брой уравнения на Лагранж T е общата кинетична енергия, V е потенциалната енергия.

В практиката често е по-лесно да се реши уравнението на Лагранж, отколкото уравненията на Нютон. Това е така, защото може така да се подберат координатите на системата, че да има симетрия и да се намали броят на решаваните уравнения.

Принцип на Хамилтон

Действието или работата S се дефинират като времеви интеграл върху оператора на Лагранж:

$S=\int L\,dt$.

Нека q0 и q1 да са координатите на началната и на крайната точка съответно с време t0 и t1.

Ползвайки изчислителни методите от висшата математика се показва че Уравнението на Лагранж е равносилно на Принципа на Хамилтон:

Системата преминава от състояние q0 в q1 за времето между t0 и t1, като в точките q0 и q1 няма действие – тоест системата застава в покой.

Под стационарно положение или покой се разбира, че скоростта или първата производна на координатите в точки q0 в q1 е нулева.

$\delta S=0.\,\!$

Може да се абстрахираме от наличието на приложената сила и да се разгледа това движение като от преместване моментно от една стационарна точка в друга и обратно.

Принципът на Хамилтон се нарича още принцип на най-малкото възможно действие.

Доразвитие на механиката на Лагранж

Операторът на Хамилтон се дефинира като трансформация на Лежандр върху оператора на Лагранж. Хамилтоновият оператор е основа за друга разновидност на класическата механика, известна като механика на Хамилтон. Тази механика е особено ценна при квантовата механика.

През 1948 г. Файнман изобретява интеграл по крива, доразвиващ принципа за действие в посоката на най-малкото съпротивление.

При тази формулировка частиците пътуват едновременно по всички възможни траектории между началната и крайната точка и вероятността за намиране на една частица в крайната точка се получава като резултат от сумиране на всички възможни траектории, водещи дотам.

В класическия си вариант той се свежда до принципите на Хамилтоновата механика.

Външни препратки

• Практически пример