Критерий за устойчивост на Хурвиц

Критерият за устойчивост на Хурвиц е един от начините за анализ на устойчивостта на линейна стационарна динамична система, разработен през 1895 г. от немския математик Адолф Хурвиц. Заедно с критериите на Раус и Вишнеградски, той е представител на семейството на алгебричните критерии за устойчивост, за разлика от честотните критерии за устойчивост на Найкуист и Михайлов. Предимството на метода е неговата основна простота, недостатъкът е необходимостта от извършване на операцията за изчисляване на детерминанта, която е свързана с определени изчислителни тънкости (например за големи матрици може да се появи значителна изчислителна грешка).

Формулировка

Методът работи с коефициентите на характеристичното уравнение на системата. Нека $W(p)={\frac {Y(p)}{H(p)}}$ e предавателната функция на системата, а $\ H(p)=0$ – характеристичното уравнение на системата.

Характеристичният полином $\ H(p)$ се представя във вида

\ H(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n}

където $p=j\omega$ е комплексен аргумент.

От коефициентите на характеристичното уравнение се съставя детерминантата (матрицата) на Хурвиц $\Delta$ , наричана още главен определител, съгласно алгоритъма:

1) по главния диагонал отляво надясно всички коефициенти на характеристичното уравнение се задават от $\ a_{1}$ до $\ a_{n}$ ;

2) от всеки елемент на диагонала нагоре и надолу колоните на детерминанта се попълват така, че индексите намаляват отгоре надолу;

3) коефициентите с индекси по-малки от нула или по-големи от $\ n$ се заменят с нули.

Размерът на матрицата на Хурвиц се определя от максималната степен на $p$ в характеристичното уравнение (т.е. $n$ ).

Или явно ^[1]

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&a_{1}&a_{3}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n}\end{vmatrix}}$

Критерий на Хурвиц:

„

За да бъде една динамична система устойчива, е необходимо и достатъчно всички коефициенти на характеристичния полином и всички главни диагонални минори на детерминантата на Хурвиц да са положителни: $a_{0},a_{1},a_{2},...a_{n}>0$ и $\Delta _{1}$ , $\Delta _{2}$ , ... $\Delta _{n}>0$ .

“

Тези минори са съставни детерминанти от 2×2 елемента, разположени по главния диагонал на детерминантата на Хурвиц и се наричат определители на Хурвиц. Изчисляват се по формулата $\Delta _{i}=a_{i-1}.a_{i}-a_{i-2}.a_{i+1}$

Примери за определители на Хурвиц за някои характеристични полиноми

Най-често срещаните случаи на прилагане на критерия са за характеристични полиноми от 3^-та, 4^-та и 5^-та степен.

Характеристичният полином от пета степен е: $\ H(p)=a_{0}p^{5}+a_{1}p^{4}+a_{2}p^{3}+a_{3}p^{2}+a_{4}p+a_{5}$ .
Детерминантата и определителите на Хурвиц ще имат вида:
$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}$ ; $\Delta _{1}=a_{1}$ ; $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}.a_{2}-a_{0}.a_{3}$ ; $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{4}\\a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}}=a_{2}.a_{3}-a_{1}.a_{4}$ ; $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{3}&a_{5}\\a_{2}&a_{4}\end{vmatrix}}=a_{3}.a_{4}-a_{2}.a_{5}$ ; $\Delta _{5}={\begin{vmatrix}a_{4}&0\\a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}=a_{4}.a_{5}-a_{3}.0=a_{4}.a_{5}$

Характеристичният полином от четвърта степен е: $\ H(p)=a_{0}p^{4}+a_{1}p^{3}+a_{2}p^{2}+a_{3}p+a_{4}$ .
Детерминантата на Хурвиц се получава от предходната за пета степен чрез премахване на десния стълб и долния ред. Във всички горни изрази се замества $\ a_{5}=0.$

Характеристичният полином от трета степен е: $\ H(p)=a_{0}p^{3}+a_{1}p^{2}+a_{2}p+a_{3}$ .
Детерминантата на Хурвиц се получава от тази за пета степен чрез премахване на 2 десни стълба и 2 долни реда.
Във всички горни изрази се замества $\ a_{5}=0$ и $\ a_{4}=0.$

Характеристичният полином от втора степен е: $\ H(p)=a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2}$ .
Детерминантата на Хурвиц се получава от тази за пета степен чрез премахване на 3 десни стълба и 3 долни реда.
Във всички горни изрази се замества $\ a_{5}=0$ , $\ a_{4}=0$ и $\ a_{3}=0$ .

Анализ

Анализирайки състоянието на критерия на Хурвиц, може да се забележи негово излишество. Броят на неравенствата може да бъде намален наполовина с помощта на теоремата на Лиенард–Шипар. Въпреки това, в изчислително отношение сложността на критерия не намалява значително, тъй като при изчисляване на минор от висок ред най-често е необходимо да се изчислят минорите от по-нисък ред.

Недостатъкът на критерия на Хурвиц е слабата му нагледност. Предимството му е, че е удобен за изпълнение на компютър. Често се използва за определяне на влиянието на един от параметрите на CAУ върху нейната устойчивост. Ако главната детерминанта е нула $\Delta _{n}=\Delta _{n-1}=0$ , системата е на границата на устойчивост. В този случай или $\Delta _{n}=0$ – при изпълнение на останалите условия системата е на границата на апериодичната устойчивост, или предпоследният минор $\Delta _{n-1}=0$ – ако всички други минорни са положителни, системата е на границата на колебателната устойчивост. Параметрите на CAУ определят стойностите на коефициентите на уравнението на динамиката, следователно промяната на който и да е параметър $K_{i}$ влияе на стойността на детерминанта $\Delta _{n-1}$ . Чрез изследване на това влияние може да се намери при каква стойност на $K_{i}$ детерминантата $\Delta _{n-1}$ ще стане нула и след това отрицателна. Това ще бъде граничната стойност на изследвания параметър, след което системата става неустойчива.

Автоматизация на метода

Методът на Хурвиц е доста удобен за определяне на устойчивостта на връзките с помощта на компютър. В този случай обаче трябва да се има предвид, че прилагането на критерия за системи с по-висок от 5^-ти ред $(n>5)$ може да доведе до значителни грешки, тъй като изчисляването на детерминантите от висок ред е доста сложна операция и води до натрупване на грешки в изчисленията.

Разработено е програмно осигуряване за анализ на устойчивостта на един от най-често срещаните компютърни езици за технически изчисления MATLAB. По-долу е даден пример за автоматизиране на работата на метода с помощта на MATLAB версия 5.3 с неговия синтаксис.

Програмата по-долу извършва всички необходими изчисления. За да работи, тя трябва да бъде поставена в текстов файл с разширение .m и име, което съответства на името на самата функция, в този случай името на файла трябва да бъде raus_gur.m.

function [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(H)
% Определяне на устойчивостта на система по критерия на Раус-Хурвиц, зададен чрез
% следната предавателна функция:
% 
%          B(p)   
%   W(p) = ----,
%          H(p)     
% 
% където H(p) е характеристичен полином.
% 
% H(p) = a0*p^n + a1*p^(n-1) + a2*p^(n-2) + ... + an 
%  
%   a0, a1, a2, ..., an - коeфициенти на полинома H(p).
% 
% 
% Обръщението към функцията RAUS_GUR може да бъде изпълнено по два начина:
% 
%   Първи начин.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = RAUS_GUR(H);
% 
%   Входни параметри:
% H - вектор на коефициентите на знаменателя (характеристичен полином)
% 
%   Изходни параметри:
% Ust - логически параметър, характеризиращ резултата от работата на функцията:
%   Ust = 1 - системата е устойчива
%   Ust = 0 - система е неустойчива
%  
% Mnrs - вектор от стойностите на минорите от по-малък към по-голям размер,
% които е необходимо да се изчислят за оценка на устойчивостта по метода на Раус-Хурвиц.
% Съгласно метода на Раус-Хурвиц, системата е устойчива, ако всички минори са положителни.
% Изчислението на стойността на външния минор няма смисъл, тъй като неговият знак
% винаги ще съвпада със знака на предходния минор.
% 
% Mtrx - пълна матрица на Раус-Хурвиц за дадения полином.
% 
%   Втори начин.
% 
%   [Ust, Mnrs, Mtrx]  = RAUS_GUR(W);
% 
%   Входни параметри:
% W - обект от клас LTI (виж описанието Control System Toolbox)  
% 
% Изходни параметри, аналогични на гореописаните.
% 
% 
% Ако размерът на характеристичния полином е три и по-малко коефициенти, 
% то изходните параметри Mnrs и Mtrx имат стойност NaN.
% 
% Програмата е предназначена за работа във версията MATLAB 5.3

if isa(H, 'lti')
   [B, H] = tfdata(H, 'v');
end
Ust = 1; 
if length(H(:)) < 4
    Mtrx = NaN; Mnrs = NaN;
    if any(H(:) <= 0)
        Ust = 0;
    end
    return
end
H = H(:);
n = length(H) - 1; % Размери на матрицата на Хурвиц
A = [zeros(n-1, 1); H(end:-1:1); zeros(n-2, 1)];
Mtrx = zeros(n, n); % Празни места в матрицата на Хурвиц
Mnrs = zeros(n-2, 1); % Вектор на минорите
for i = 1:n
    Mtrx(:, i) = A((n - i)*2 + 1:3*n - 2*i);   
end
for i = 2:n-1
    Mnrs(i-1) = det(Mtrx(1:i,1:i));
end
if any([H(:); Mnrs(:)] <= 0)
    Ust = 0;
end

Пример

Дадена е предавателната функция:

${\text{W}}\left(p\right)={\frac {Y\left(p\right)}{H\left(p\right)}}={\frac {5\cdot p+4}{{{p}^{5}}+16\cdot {{p}^{4}}+95\cdot {{p}^{3}}+260\cdot {{p}^{2}}+324\cdot p+144}}$

Тогава извикването на горната функция ще изглежда така:

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
Резултат от изчисленията:
A =

B =

       1260
     246960
   63504000

C =

    16  260  144    0    0
     1   95  324    0    0
     0   16  260  144    0
     0    1   95  324    0
     0    0   16  260  144

Тъй като A = 1, то системата е устойчива.

Векторът В съдържа стойностите на диагоналните определители от 2×2 до 4×4, първият елемент няма значение, а стойността на външния определител винаги ще има същия знак, както предходния. Съгласно метода на Хурвиц, за да бъде системата устойчива, всички тези определители трябва да са положителни.

Матрицата С е главният определител – детерминантата на Хурвиц.

Тази функция може да се използва в математически пакети, които имат синтаксис, подобен на MATLAB или с малка модификация.

Система е на границата на апериодична устойчивост, ако коефициентът $a_{n}=0$ .

Система е на границата на колебателна устойчивост, ако предпоследният минор $\Delta _{n-1}=0$ .

Вижте също

Източници

↑ Гантмахер Ф. Р. – Теория матриц – издание 5-е, М., издательство„Физматлит“, 2010 г., 560 страницы, стр. 463, ISBN 978-5-9221-0524-8.

[1] Гантмахер Ф. Р. – Теория матриц – издание 5-е, М., издательство„Физматлит“, 2010 г., 560 страницы, стр. 463, ISBN 978-5-9221-0524-8.

[1]