Диференциал (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.

---

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените „безкрайно малки величини“ и „безкрайно малки промени“. Лайбниц и Бернули въвеждат означението $\mathrm {d} x\,$ за диференциал на променливата $x\,$. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа.

Нека $f(x)\,$ е функция, дефинирана в някоя околност на дадена точка $x\,$. Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с $\Delta x$.

• Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато $\Delta x\rightarrow 0$. Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Диференциалът се дефинира като:

$\mathrm {d} f(x)=a*f'(x)$ където  $a$ е параметър

В случая $f(x)=x$ получаваме:

$dx=a$ и от тук:

$df(x)=f'(x)*dx$ което може да се запише и като частно:

$f'(x)={\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

$\mathrm {d} f(x)=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}$ където обаче символът ${\partial y \over \partial x_{i}}$ е неделим, т.е. не може да се интерпретира като частно макар по формата си да напомня на такова.

• Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:

$\int f(x)\,{\mathrm {d} }x$

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.

Интерпретация

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата $h\,$, то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на $f\,$ около точката $x\,$ със свойството:

$\mathrm {d} f(x)=f'(x)\cdot h=(f(x+h)-f(x))+{\hbox{o}}(h).$

Литература

• Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач, Едиториал УРСС, 2001