Ядро на Поасон

Ядрото на Поасон е сумиращо ядро, което се използва в хармоничния анализ. Задава се с формулата

$P_{r}(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }r^{|j|}e^{ijt}$,

където 0 < r < 1. Може да се представи и в следния вид

$P_{r}(t)=1+2\sum _{j=1}^{\infty }r^{j}\cos(jt)$

или

$P_{r}(t)={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos t+r^{2}}}=Re\left({\frac {1+re^{it}}{1-re^{it}}}\right).$

Ядрото на Поасон не е редица от тригонометрични полиноми, но в замяна на това P(r,t) е намаляваща функция на t за $0<t<\pi$.

Поради равномерната сходимост на реда, с който се задава P(r,t), имаме следното равенство

$(P_{r}\ast f)(t)=\sum _{n}{\hat {f}}(n)r^{|n|}e^{int}$

ядрото на Поасон се използва като връзка между теорията на тригонометричните редове и теорията на аналитичните функции.

Приложение в комплексния анализ

Много важно свойство на ядрото на Поасон, което се използва в комплексния анализ е, че интегралът на Поасон на $P_{r}$ дава решение на задачата на Дирихле за единичния кръг. Задачата на Дирихле търси решения на уравнението на Лаплас в единичния кръг с гранично условие на Дирихле.

Нека $D=\{z:|z|<1\}$ е единичния кръг в C. Ако f е непрекъсната функция $\partial D\mapsto \mathbb {R}$, то функцията u зададена с

$u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})dt$

е хармонична в D и е равна на f по единичната окръжност.