Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение обобщават често срещаните случаи за умножение на многочлени. Голяма част от тях са като частен случай на Нютоновия бином. Изучават се в началната алгебра.

Формули за втора степен

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Формули за трета степен

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$

Формули за четвърта степен

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$

Формули за n-та степен

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , където $n\in N$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , където $n\in N$
$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}$ , където ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$

Някои свойства на формулите

$(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$ , където $n\in N$
$(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$ , където $n\in N$

Други формули

$a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (извежда се от $a^{2}-b^{2}$ )
$\displaystyle {1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+...+n)^{2}}$

Вижте също

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Формулы сокращённого умножения многочленов“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.