Уравнения на Коши-Риман

Уравненията на Коши-Риман представляват система от две частни диференциални уравнения, които гарантират, че една функция дефинирана в комплексната равнина C със стойности в C притежава производна (в смисъла на комплексния анализ).

Производна на комплексна функция

Нека U е отворено подмножество на C и f : U → C е комплекснозначна функция дефинирана върху U. Казваме, че f е комплексно-диференцируема в точка z₀ от U ако границата

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$ съществува.

Границата тук се взима по всички редици от комплексни числа клонящи към z₀, и за всички тях горният израз трябва да клони към едно и също число, което се означава с f '(z₀). Това число се нарича производна на функцията f в точката z₀.

Формулировка на уравненията на Коши-Риман

Нека f(x + iy) = u + iv е комплекснозначна функция от отворено подмножество на C в C, където x, y, u, и v са реални, като u и v са функции с реални стойности дефинирани върху отворено подмножество на R², които са диференцируеми в него. Тогава f е диференцируема в точка z₀ тогава и само тогава, когато са изпълнени уравненията на Коши-Риман, които гласят:

${\partial u \over \partial x}(z_{0})={\partial v \over \partial y}(z_{0})$ и ${\partial u \over \partial y}(z_{0})=-{\partial v \over \partial x}(z_{0})$

Извеждане на уравненията

Разглеждаме функция f(z) = u(x, y) + i v(x, y) със стойности в C. Искаме тази функция да притежава производна в точка z₀ (тогава функцията е диференцируема в z₀). Както споменахме, за да съществува производната в дадена точка е необходимо границата

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

да съществува и да една и съща по всички редици комплексни числа, клонящи към z₀. Тогава да разгледаме два случая: когато z клони към z₀ по направление успоредно на оста x, и когато клони по направление успоредно на оста y.

В първия случай имаме:

$f'(z)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+h)-f(z) \over h}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over h}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)] \over h}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+h,y)-u(x,y)}{h}}+i{\frac {v(x+h,y)-v(x,y)}{h}}\right]}.$

Тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на u и v:

$f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.$

Във втория случай имаме:

$f'(z)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+ih)-f(z) \over ih}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over ih}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}}+i{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}}\right]}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}}+{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}}\right]}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}}-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}}\right]}.$

Отново, тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на u и v:

$f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.$

Приравнявайки двете стойности за производната получаваме:

${\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.$

Приравняваме реалните и имагинерните части:

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.$

Холоморфни функции

Уравненията на Коши-Риман често се използват за проверка дали една функция е холоморфна. За да бъде холоморфна една функция в дадена точка z₀ е необходимо тя да притежава производна както в z₀, така и в някаква околност на z₀. Тогава, ако имаме отворено подмножество U на комплексната равнина C и функцията f(z) = u(x, y) + i v(x, y), дефинирана в U, то f е холоморфна в U тогава и само тогава, когато u и v са непрекъснато диференцируеми в U и за всяка точка от U u и v удовлетворяват уравненията

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$ и ${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}$