Уравнение на електромагнитните вълни

Уравнението на електромагнитните вълни е частно диференциално уравнение от втори ред, което описва разпространението на електромагнитните вълни (ЕМВ) в материална среда или във вакуум. Това е вълновото уравнение, написано за електрическото поле с интензитет (напрегнатост) $E$ или магнитното поле с интензитет $H$ и в хомогенна форма има следния вид:

Светлинни вълни от лазери в свободното пространство, използвани за визуални ефекти при музикални представления.

Дъга, образувана от дисперсия на светлината поради различния коефициент на пречупване за светлинни вълни с различна дължина.

$\nabla ^{2}\mathbf {E} \ -\ {1 \over v^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}\ \ =\ \ 0$

$\nabla ^{2}\mathbf {H} \ -\ {1 \over v^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}\ \ =\ \ 0$

където $v$ е скоростта на вълната в дадената среда. Във вакуум $v=c=2,9998\times 10^{8}$ m/s, което е и скоростта на светлината в свободно пространство.

Уравнението за електромагнитните вълни се извежда от уравненията на Максуел.

Скорост на разпространение

В линейна, изотропна и бездисперсионна среда електричната индукция (електричното сместване) $D$ е пропорционална на напрегнатостта на електричното поле $E$ [ V/m]:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$,

където ε е диелектричната проницаемост на средата.

Аналогично магнитната индукция (плътност на магнитния поток $B$ [ T ] е пропорционална на напрегнатостта на магнитното поле $H$ [ A/m ]:

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$,

където μ е магнитната проницаемост на средата.

Диелектричната проницаемост $\ \varepsilon$ и магнитната проницаемост $\ \mu$ са важни физични константи, които играят ключова роля в теорията на електромагнитното поле.

Във вакуум

За вакуум диелектричната проницаемост е $\ \varepsilon _{o}={1 \over {36\pi }}\times 10^{-9}=8,854\times 10^{-12}$ [F/m], а магнитната проницаемост $\ \mu _{o}=4\pi \times 10^{-7}=12,56637\times 10^{-7}$ [H/m]. Тогава вълната се разпространява със скорост

$c=c_{o}={1 \over {\sqrt {\mu _{o}\varepsilon _{o}}}}=2,999792458\times 10^{8}$ m/s ≈ $3\times 10^{8}$ m/s,

равна на скоростта на светлината.

Параметри на вакуум	Символ	Числена стойност	Измервателна единица в SI
Диелектрична константа	$\ \varepsilon _{0}$	$8,854\times 10^{-12}$	F/m
Магнитна проницаемост	$\ \mu _{0}\$	$4\pi \times 10^{-7}$	H/m
Скорост на светлината	$c\$	$2,998\times 10^{8}$	m/s

Оптичните влакна са материална среда за разпространение на оптични ЕМВ

В материална среда

Разглежда се разпространението на ЕМВ в материални среди, които са линейни, изотропни и бездисперсионни. Тогава скоростта на вълната е

$c={1 \over {\sqrt {\varepsilon \mu }}}={c \over n}$,

където

$n={\sqrt {\varepsilon \mu \over \varepsilon _{o}\mu _{o}}}$

е коефициент на пречупване на средата, $\varepsilon$ и $\mu \,$ са диелектричната и магнитната проницаемост на средата.

Произход на електромагнитното уравнение

Запазване на заряда

Запазването на заряда изисква скоростта на промяна на пълния заряд намиращ се в обем V да бъде равна на пълния ток, течащ през повърхността S, обхващаща обема:

$\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {s} =-{d \over dt}\int _{V}\rho \cdot dV$

където J е плътността на тока [A/m²], течащ през повърхнината, а ρ е плътността на обемния заряд [ C/m³] във всяка точка от обема. От теоремата за дивергенцията, тази зависимост се преобразува от интегрална в диференциална форма:

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\partial \rho \over \partial t}$

Закон на Ампер преди корекцията на Максуел

Андре Мари Ампер (1775 – 1836) – френски физик, открил законите за тока на проводимост.

В своята оригинална форма, законът на Ампер (единици SI) е зависимостта на магнитното поле H и източника на полето, токовата плътност J:

$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {s}$.

Отново може да се преобразува до диференциална форма, прилагайки теоремата на Стокс:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$.

Разглеждане на Максуел

Джеймс Кларк Максуел, който обединява законите за електричеството и магнетизма, открива важно несъответствие между закона на Ампер и закона за запазване на заряда.

Ако се вземе дивергенцията от двете страни на закона на Ампер, се получава:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J}$

Дивергенцията на ротация на което и да е векторно поле (в случая магнитното поле H) е винаги равна на нула:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=0$

Комбинирайки тези две уравнения се получава:

$\nabla \cdot \mathbf {J} =0$

От закона за запазване на заряда следва, че:

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\partial \rho \over \partial t}$

${\partial \rho \over \partial t}=0$.

Последният резултат подсказва, че пълната плътност на заряда в която и да е точка в пространството е константа, която изобщо не може да се променя, което разбира се е абсурдно. Този резултат е в противоречие не само на физическата интуиция, а и с емпиричните резултати от много лабораторни експерименти. Тази зависимост изисква не само запазване на заряда, но и че последния не може да бъде преразпределен от едно място към друго. Но от друга страна е известно, че електрическите токове могат и преразпределят електрическия заряд. Така последният резултат е некоректен. Нещо очевидно липсва в закона на Ампер и Максуел открива, че е необходима корекция.

За да се разбере Максуеловата корекция на закона на Ампер, трябва да се разгледа друго от уравненията на Максуел, а именно законът на Гаус в интегрална форма:

Джеймс Кларк Максуел (1831 – 1879) – английски физик, доразвива законите на Ампер и Фарадей, открива тока на сместване и формулира основните уравнения на електродинамиката.

$\oint _{S}\varepsilon _{o}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =\int _{V}\rho \cdot dV$

Чрез отново използване на теоремата за дивергенцията, уравнението може да се преобразува до диференциална форма:

$\nabla \cdot \varepsilon _{o}\mathbf {E} =\rho$

Чрез диференциране по времето от двете страни се получава:

${\partial \over \partial t}(\nabla \cdot \varepsilon _{o}\mathbf {E} )={\partial \rho \over \partial t}$

При смяна на местата на производните от лявата страна се получава:

$\nabla \cdot \varepsilon _{o}{\partial \mathbf {E} \over \partial t}={\partial \rho \over \partial t}$

Последният резултат заедно със закона на Ампер и уравнението за запазване на заряда, предполага два вида източници на магнитното поле: токът на проводимост с плътност J, както Ампер вече е установил, и така наречения ток на сместване или ток от промяна на електрическата индукция във времето:

${\partial \mathbf {D} \over \partial t}=\varepsilon _{o}{\partial \mathbf {E} \over \partial t}$

Така коригираната от Максуел форма на закона на Ампер има вида:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +\varepsilon _{o}{\partial \mathbf {E} \over \partial t}$

и се нарича закон за пълния ток или първо уравнение на Максуел.

Вълнови характер на светлината

Корекцията на Максуел на закона на Ампер подготвя едно сензационно за времето си откритие. Максуел осъзнава, че уравненията за електромагнетизма предполагат, че електрическото и магнитно полета могат да се разпространяват в космоса – тоест, при отсъствието на материя – като електромагнитни вълни и още, че скоростта на тези вълни е точно скоростта на светлината. Уповавайки се на откритието си в 1865, Максуел пише:

Тази скорост е толкова близка до скоростта на светлината, че изглежда имаме сериозна причина да заключим, че самата светлина... е електромагнитно смущение във формата на вълни, разпространяващи се посредством електромагнитното поле и според законите за електромагнитното поле.

За електромагнитни вълни във вакуум Максуеловите уравнения имат вида:

Картичка от Максуел до Питър Таит.

Забавяне на времето при напречно движение. Изискването скоростта на светлината да бъде постоянна във всяка инерциална отправна система води до Специална теория на относителността.

$\nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{o}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}$

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$

$\nabla \cdot \mathbf {H} =0$

Ако се приложи ротация на първите две уравнения, се получава:

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}$

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {H} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

За всеки от векторите $\mathbf {E}$ и $\mathbf {H}$ може да се запише:

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E}$ и

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {H} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {H}$.

Замествайки тези изрази в горните 2 уравнения и след смяна на местата им се получават вълновите уравнения

${\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} \ \ =\ \ 0$

${\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {H} \ \ =\ \ 0$,

където

$c={1 \over {\sqrt {\mu _{o}\varepsilon _{o}}}}=2,998\times 10^{8}$ m/s

е скоростта на светлината във вакуум.

Нехомогенно вълново уравнение

Локализирани променливи във времето плътности на заряда и тока могат да действат като източници на електромагнитни вълни във вакуум. Уравненията на Максуел могат да бъдат написани във формата на вълново уравнение с източници. Прибавянето на източници към вълновите уравнения прави частните диференциални уравнения нехомогенни.

Система SI

Уравненията на Максуел във вакуум с източници от заряд $\rho$ и ток $\mathbf {J}$ могат да се запишат във вид на векторни и скаларни потенциали като:

$\nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J}$

където

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\partial \mathbf {A} \over \partial t}$

и

$\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A}$.

Ако се допусне, че е в сила уравнението на Л. Лоренц:

${1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

тогава за нехомогенните вълнови уравнения се записва:

$\nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J}$.

Решения на хомогенното вълново уравнение

Общото решение на уравненивто има следната форма:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

и

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

за всяка непрекъсната и диференцируема функция g на безразмерен аргумент φ, където

$\ \omega$ е ъгловата скорост (в rad/s), и

$\mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})$ е вълновият вектор (в [ rad/m).

Въпреки че функцията g може да бъде и често е монохроматична синусоидална вълна, тя не трябва да бъде синусоидална и дори периодична. На практика g не може да има безкрайна периодичност, тъй като всяка реална електромагнитна вълна трябва да има крайно протежение в пространството и времето. Като резултат от това и базирайки се на Трансформацията на Фурие, една реална вълна трябва да се състои от наслагването (суперпозицията) на безкраен брой хармоници.

Още повече, за намиране на приемливо решение, вълновият вектор и ъгловата честота не могат да бъдат независими една от друга променливи. Те трябва да спазват дисперсионната зависимост:

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

където k е вълновото число и λ е дължината на вълната.

Монохроматична синусоидална стационарна вълна

Най-проста форма решения на вълновото уравнение се получава от допускането за синусоидални вълни на една честота в разделена форма:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathrm {Re} \{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{j\omega t}\}$,

където

• $j={\sqrt {-1}}\,$ е имагинерната единица,
• $\omega =2\pi f\,$ е ъглова скорост в [ rad/s ],
• $f\,$ e честотата в Hz, и
• $e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)\,$ е формулата на Ойлер.

Решения за плоски вълни

Разглежда се равнина, определена от единичен нормален вектор

$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}$.

Решенията за разпространяваща се плоска вълна са

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=E_{0}e^{-j\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

и

$\mathbf {H} (\mathbf {r} )=H_{0}e^{-j\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$,

където

$\mathbf {r} =(x,y,z)$ е пространственият вектор [[[метър|m]]].

Тези решения представят плоски вълни, разпространяващи се по посока на нормалния вектор $\mathbf {n}$.

Ако посоката $z$ се дефинира като посока на $\mathbf {n}$ и посоката (координатната ос) $x$ като посока на $\mathbf {E}$, тогава според закона на Фарадей магнитното поле е по посока на $y$ и е свързано с електрическото поле чрез отношението:

$\mp c\mu _{o}{\partial H \over \partial z}={\partial E \over \partial z}$.

Поради факта, че дивергенцията на електрическото и магнитно полета е нула, няма полета по посоката на разпространение.

Това решение на вълновите уравнения е за вълни с линейна поляризация. В този смисъл съществуват и решения с кръгова поляризация, при която полетата се въртят около нормалния вектор.

Разлагане в спектър

Поради линейността на уравненията на Максуел във вакуум, решенията могат да се разложат в суперпозиция на хармоници. Това е принципа на използването на метода с преобразование на Фурие за решаването на диференциални уравнения. Хармоничното решение на вълновото електромагнитно уравнение има формата:

Илюстрация на областите на електромагнитния спектър и възможни практически приложения.

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=E_{0}\ cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})$

и

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)=H_{0}\ cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})$

Електромагнитният спектър е диаграма на големината на интензитета на полето (или енергията на полето) във функция на дължината на вълната.

Вижте също

• Частно диференциално уравнение
• Уравнения на Максуел
• Вълново уравнение
• Закон на Фарадей
• Електромагнитен спектър