Уравнение на Шрьодингер

Серия статии на тема Квантова механика

${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle$  $\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$ Основни понятия Вълнова функция ⋅ Квантово състояние ⋅ Квантово заплитане ⋅ Съотношение на неопределеност на Хайзенберг ⋅ Корпускулярно-вълнов дуализъм ⋅ Принцип на Паули ⋅ Принцип на съответствието ⋅ Константа на Планк ⋅ Квант ⋅ Тунелен преход ⋅ Квантова суперпозиция Теории Уравнение на Шрьодингер ⋅ Квантова електродинамика ⋅ Квантова теория на полето ⋅ Диаграми на Файнман Експерименти Котка на Шрьодингер ⋅ Парадокс на Айнщайн – Подолски – Розен ⋅ Квантова телепортация ⋅ Фотоелектричен ефект Статистики Статистика на Максуел-Болцман ⋅ Статистика на Ферми-Дирак ⋅ Статистика на Бозе-Айнщайн Физици Макс Планк · Луи дьо Бройл · Ервин Шрьодингер · Вернер Хайзенберг · Нилс Бор · Волфганг Паули · Макс Борн · Пол Дирак · Джон фон Нойман · Алберт Айнщайн · Дейвид Бом · Ричард Файнман · Хю Еверет · Юджин Уигнър

Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)\;=\;-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}},t)+V({\vec {r}},t)\psi ({\vec {r}},t)$

или съкратено:

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\widehat {H}}(t)\psi \,,$

където ${\widehat {H}}(t)$ е (евентуално) зависещия от времето $t$ оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът $V$ не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член $\exp(-i{\frac {E}{\hbar }}t)$ (където $E$ е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част $\psi ({\vec {r}})$, която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:

${\widehat {H}}\psi =E\psi$

или

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}})+(E-V({\vec {r}}))\psi ({\vec {r}})=0$

Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.

Извод

Кратък евристичен извод

Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.

Допускания

1. Пълната енергия E на една частица е

   $E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V.$

   Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия $T={\frac {p^{2}}{2m}}$ и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.

2. Хипотезата на Планк за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:

   $E=h\nu ={h \over 2\pi }(2\pi \nu )=\hbar \omega \;,$

   където честотата $\nu$ на фотона е свързана с константата на Планк h,

   и $\omega =2\pi \nu ;$ е ъгловата честота на вълната.

3. Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоциирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:

   $p={h \over \lambda }={h \over 2\pi }{2\pi \over \lambda }=\hbar k\;$

   където $\lambda \,$ е дължината на вълната, а $k=2\pi /\lambda \;$ – нейното вълново число.

   Изразявайки p и k като вектори, имаме

   $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \;.$

Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.

Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна

Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор

$\Psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$

и да си да даде сметка, че доколкото

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-i\omega \Psi$,

то

$E\Psi =\hbar \omega \Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi$

По подобен начин от

${\frac {\partial }{\partial x}}\Psi =ik_{x}\Psi$

и

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi =-k_{x}^{2}\Psi$

се стига до

$p_{x}^{2}\Psi =(\hbar k_{x})^{2}\Psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi$

така че, отново за плоска вълна, той получава:

$p^{2}\Psi =(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})\Psi =-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\Psi =-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\Psi$

След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

Вижте също

• Котка на Шрьодингер

Тази статия, свързана с физика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.