Кръстосано умножение

Кръстòсано умножèние в математиката е действие при дробни изрази, което е умножаване на числителя на първата дроб по знаменателя на втората и знаменателя на първата дроб по числителя на втората. Използва се в елементарната аритметика и елементарната алгебра като правило при деление на дроби, преобразуване на равенство на две дроби в недробен израз, проверка на пропорция и намиране на неизвестната величина в равни съотношения чрез тройно правило. Чрез кръстосано умножение може да се опрости уравнение или да определи стойността на променлива.

Методът понякога е известен и като умножение на кръст или „прекоси сърцето си“, тъй като могат да бъдат начертани линии, наподобяващи контур на сърце, за да се запомни кои неща да се умножат заедно.

Ако е дадено уравнението

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},

където $b$ и $d$ не са нула, може да се извърши кръстосано умножение

ad=bc\quad {\text{или}}

a={\frac {bc}{d}},\quad b={\frac {ad}{c}},\quad c={\frac {ad}{b}},\quad d={\frac {bc}{a}}.

В евклидовата геометрия същото изчисление може да се постигне, като се разглеждат съотношенията като тези на подобни триъгълници.

Тройно правило

Ако в горните формули една от четирите величини в пропорцията е неизвестна, тя може да се определи от останалите три чрез кръстосано умножение. Това се нарича тройно правило или просто тройно правило:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},

откъдето неизвестната величина $x$ се определя по формулата

x={\frac {bc}{a}}.

Тук $a$ се нарича екстремум на пропорцията, а $b$ и $c$ се наричат средни стойности.

Примери:

1. Ако една кола изминава 120 km за 2 часа, за колко часа ще измине 480 km?
Решение: Пропорцията е

{\frac {120}{2}}={\frac {480}{x}},

откъдето за неизвестното време се получава

x={\frac {2\times 480}{120}}=8

часа

2. Да се определи височината $h$ към хипотенузата $c$ в правоъгълен триъгълник, ако са известни трите му страни $a$ =6 cm, $b$ =8 cm и $c$ =10 cm.
Решение: Височината $h$ към хипотенузата дели правоъгълния триъгълник на два подобни нему триъгълника, откъдето се получава пропорцията

{\frac {a}{h}}={\frac {c}{b}}\quad {\text{или}}

\quad ab=ch.

От тук неизвестната височина $h$ се определя по формулата

h={\frac {ab}{c}}={\frac {6\times 8}{10}}=4,8

cm.

Задачата може да се реши и ако са дадени само две от страните. От тях може да се намери третата страна, като се има пред вид, че съотношението на страните в правоъгълния триъгълник е 3:4:5.

3. Да се определи ъгълът срещу известна страна в произволен триъгълник, ако са дадени друга страна и ъгълът срещу нея. Или да се определи неизвестна страна в произволен триъгълник, ако са дадени ъгълът срещу нея, друга страна и ъгълът срещу нея.
Решение: Използва се синусовата теорема

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$

където $R$ е радиусът на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъгълник, ако са известни два ъгъла и една страна.

Двойно тройно правило

Разширение на тройното правило е двойното тройно правило, което е за намиране на неизвестна стойност, когато са известни пет, а не три други стойности.

Пример за такава задача може да бъде следният:
„Ако 6 строители могат да построят 4 къщи за 100 дни, колко дни ще са необходими на 10 строители, за да построят 20 къщи със същата скорост?“

От условието се съставят съотношенията:

{\frac {\frac {4\ {\text{къщи}}}{100\ {\text{дни}}}}{6\ {\text{строители}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{къщи}}}{x\ {\text{дни}}}}{10\ {\text{строители}}}},

което с кръстосано умножение два пъти дава

x={\frac {20\ {\text{къщи}}\times 100\ {\text{дни}}\times 6\ {\text{строители}}}{4\ {\text{къщи}}\times 10\ {\text{строители}}}}=300\ {\text{дни}}.

„Песента на лудия градинар“ на Луис Карол включва редовете:

„Той си помисли, че вижда градинска врата,
която се отваря с ключ.
Той погледна отново и откри, че е
двойно тройно правило“. ^[1]

Действия с дроби

Обикновени дроби се делят чрез умножение на кръст – числителят на едната по знаменателя на другата:

{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}

.

При съкращаване и разширяване на обикновени дроби стойността им не се изменя, което се доказва чрез кръстосано умножение:

{\frac {24}{25}}={\frac {96}{100}}\quad

защото

\quad 24\times 100=25\times 96;

{\frac {125}{1000}}={\frac {1}{8}}\quad

защото

\quad 125\times 8=1000\times 1.

Вижте също

Оборот

Източници

↑ Луис Карол – Силви и Бруно, Глава 12, на английски.

Литература

Brian Burell – Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, pp. 85-101
The Rule of Three, Mathematics: Toolkit. Тройно правило, приложено от Михаил от Родос през XV век
Math Words, pg 18 – The Rule of Three. Съкратена аритметична система на Пайк: предназначена да улесни изучаването на науката за числата, разбирайки най-очевидните и точни правила, илюстрирани с полезни примери, към които са добавени подходящи въпроси за изпит от учени и кратка система от съхранени книги, 1827 – факсимиле на съответния раздел
Multiplication is Vexation. Тройно правило в Mother Goose
Dr Math – Rule of Three. Тройно правило в NCTM
Dr Math – Abraham Lincoln and the Rule of Three. Ейбрахам Линкълн и тройното правило, NCTM

[1] Луис Карол – Силви и Бруно, Глава 12, на английски.

[1]