Транспозиционна матрица

Транспозиционната матрица $Tr=(Tr_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\\j={1,n}\end{smallmatrix}}$ ($Tr$ матрица) е квадратна $n\times n$ матрица, $n=2^{m}$, $m\in N$, чиито елементи се получават от елементите на зададен n-мерен вектор $X=(x_{i})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\end{smallmatrix}}$ по формулата $Tr_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}$, където със символа $\oplus$ е обозначена операцията "Побитово умножение" (XOR). Редовете и стълбовете на транспозиционната матрица съдържат пермутации на елементите на вектора $X$, като между елементите на всеки два реда или стълба от матрицата съществуват $n/2$ транспозиции.

Примери

Транспозиционната матрица $Tr(X)$ , получена от вектора $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}$ има вида

$Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}$

Свойства

• $Tr$ матрицата е симетрична матрица, което означава, че елементите и са свързани със съотношенията $Tr_{i,j}=Tr_{j,i}$.

• $Tr$ матрицата е персиметрична матрица, т.е. тя е симетрична и спрямо вторият си диагонал, което означава, че елементите и са свързани със съотношенията $Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1}$.

• Всеки ред и колона на $Tr$ матрицата съдържа всички елементи на зададеният вектор $X$ без повторения.

• Всеки два реда от $Tr$ матрица съдържат $n/2$ четворки от елементи с еднакви стойности на диагоналните елементи. Например ако $Tr_{p,q}$ и $Tr_{u,q}$ са два произволно избрани елемента от една и съща колона $q$ на $Tr$ матрицата, то от това свойство следва, че в $Tr$ матрицата се съдържа четворка елементи $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$, за която са изпълнени равенствата $Tr_{p,q}=Tr_{u,v}$ и $Tr_{u,q}=Tr_{p,v}$. Това свойство, което по-нататък ще наричаме "свойство на четворките" е специфично за $Tr$ матриците

Четворки от елементи в Tr матрица

На фигурата вдясно са показани примери за четворки от елементи в $Tr$ матрица с еднакви стойности на диагоналните елементи.

Транспозиционна матрица с взаимно ортогонални редове (Trs матрица)

Свойството на четворките дава възможност за получаване от $Tr$ матрица на матрица с взаимно ортогонални редове и колони ($Trs$ матрица) чрез променяне на знаците на нечетен брой елементи във всяка четворка $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$, $p,q,u,v\in [1,n]$. В [4] се предлага алгoритъм за получаване на $Trs$ матрица чрез поелементно умножение (произведение на Адамар) на $Tr$ матрицата с матрица на Адамар $H=(h_{ij})$ с подреждане на редовете, при което се получава променяне на знаците на нечетен брой елементи във всички четворки. Така получените двумерни вектори в четворките $(h_{p,q}Tr_{p,q},h_{p,v}Tr_{p,v})$ и $(h_{u,q}Tr_{u,q},h_{u,v}Tr_{u,v})$ сa ортогонални и тъй като всички елементи на редовете p и q се съдържат без повторения в n/2 четворки елементи, сa ортогонални и целите редове p и u. Получени са [4] матрици на Адамар $H$ за n=2, 4 и 8, чрез които се получават матрици $Trs(X)$ чрез поелементно умножение на матриците $H$ и $Tr$. Ако $\|X\|=1$ то $Trs(X)$ матрицата е ортогонална матрица на отражение [4], т.е. $det$ $Trs(X)=-1$.

Пример за получаване на Trs(X) матрица

Транспозиционната матрица с взаимно ортогонални редове $Trs(X)$ за n=4 , се получава от вектора $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}^{T}$ по формулата:

$Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}$

където $Tr(X)$ е $Tr$ матрица, получена от вектора $X$, $H(R)$ е матрица на Адамар със зададено подреждане на редовете $R$, за което редовете на получаваната $Trs(X)$ матрица са взаимно ортогонални, а с "$\circ$" е обозначена операцията "поелементно умножение" (произведение на Адамар). Както може да се види от формулата, първият ред на получената $Trs$ матрица съдържа елементите на вектора $X$ без транспозиции и промяна на знака. Като се вземе предвид че редовете на матрицата са взаимно ортогонални, при умножаване на $Trs$ матрицата по вектора, от който е създадена получаваме

$Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}$

което означава, че $Trs$ матрицата завърта вектора $X$, от който е получена, по направление на координатната ос $x_{1}$. Важно е да се отбележи, че матрицата $H$ не зависи от вектора $X$. В [4] е даден код на Matlab функция за получаване на $Trs$ матрица за n=2,4 и 8.

Вижте още

• Симетрична матрица

Външни препратки

http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

Източници

1. Константинов, М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици. С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000. с. 300.
2. Harville, D. A. Matrix Algebra from Statistician’s Perspective. Softcover, 1997.
3. Курош, А. Г. Курс Высшей алгебры. M. Наука, 1975. с. 431.
4. Zhelezov, O. I. Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications. Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29–45, 2021. ISBN 978-93-91473-89-1.