Телеграфни уравнения

Телеграфните уравнения са двойка линейни диференциални уравнения, които описват напрежението и тока на електропреносна линия във времето и по дължината на линията (пространството). Уравненията са съставени от Оливър Хевисайд, който разработва и модела на преносната линия. Теорията е приложима за високочестотните (вълноводни) линии (като телеграфни и радиочестотни линии), но също е важна и при проектиране на високоволтовите електропроводи за пренасяне на електроенергия. Моделът демонстрира разпространението и отражението на електромагнитни вълни в линията и появата на определени вълнови структури по дължината.

Хомогенна линия

Фиг.1 - Заместваща схема на елемент от електропроводна линия dx

За хомогенна електропроводна линия телеграфните уравнения имат следния вид:

${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}-L'C'{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}-(L'G'+R'C'){\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}-R'G'u(x,t)=0$

${\frac {\partial ^{2}i(x,t)}{\partial x^{2}}}-L'C'{\frac {\partial ^{2}i(x,t)}{\partial t^{2}}}-(L'G'+R'C'){\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}-R'G'i(x,t)=0$

Ще се разгледат процесите свързани с единичен хомогенен проводник провеждащ електрически ток и имащ електрически потенциал спрямо земята. Поради омичното съпровтивление на проводника по протежението, на който тече променлив електрически ток, възниква пад на напрежение. Освен това електрическият ток е свързан с променливо магнитно поле, което от своя страна индуцира в проводника електродвижещо напрежение. Поради тези причини напрежението по протежение на проводника не е постоянно. При високи напрежения съответно високи честоти не може да се пренебрегнат, както токът на отместване в диелектрика (токът на електрическата индукция), така и токът дължащ се на макар и малката електрическа проводимост на диелектрика (несъвършена изолация, омични загуби в диелектрика). Откъдето и токът по протежение на линията променя своята стойност. За определяне на изменението на напрежението и тока по дължината на проводника се изхожда от малък елемент от него с дължина dx и се сумират въздействията на всички такива елементи. При това се приема, че съпротивлението, индуктивността, капацитета и проводимостта на проводника са равномерно разпределени по дължината му. На единица дължина се пада винаги едно и също съпротивление $R'$, една и съща индуктивност $L'$, един и същи капацитет $C'$ и една и съща проводимост $G'$. Това е трудно изпълнимо на практика, особено при електропреносните линии, поради използването на изолатори в различни точки по дължината на линията, на които се окачват проводниците и поради провеса на последните и неговото изменение с дължината. Проводник, който изпълнява горните допускания със задоволителна за практиката точност се приема за хомогенен. Върху проводников елемент на един хомогенен проводник с дължина $dx$, се падат съпротивление $R'dx$, индуктивност $L'dx$, капацитет $C'dx$ и проводимост $G'dx$ показани на фиг. 1.

За представената по-горе схема от законите на Кирхоф следва:

$-u+R'dxi+L'dx{\frac {\partial i}{\partial t}}+u+{\frac {\partial u}{\partial x}}dx=0$

$i=C'dx{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}dx\right)+\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}dx\right)G'dx+i+{\frac {\partial i}{\partial x}}dx$

След разкриване на скобите, разделяне на $dx$ и пренебрегване на членовете от висок ред се получава:

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=R'i+L'{\frac {\partial i}{\partial t}}$

$-{\frac {\partial i}{\partial x}}=G'u+C'{\frac {\partial u}{\partial t}}$

При по-нататъшно диференциране на горните две уравнение (първото по $x$, второто по $t$) се получава:

$-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=R'{\frac {\partial i}{\partial x}}+L'{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial i}{\partial t}}\right)$

$-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial i}{\partial x}}\right)=G'{\frac {\partial u}{\partial t}}+C'{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$

След замествания в горните уранения се получават телеграфните уранения:

${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}-L'C'{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}-(L'G'+R'C'){\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}-R'G'u(x,t)=0$

${\frac {\partial ^{2}i(x,t)}{\partial x^{2}}}-L'C'{\frac {\partial ^{2}i(x,t)}{\partial t^{2}}}-(L'G'+R'C'){\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}-R'G'i(x,t)=0$

Уравнения при синусоидални напрежение и ток. Решение

Когато напрежението и тока на линията са синусоидални функции във времето, то те могат да се представят с комплексни моментни стойности:

${\underline {u}}={\sqrt {2}}{\underline {U_{x}}}e^{j\omega t}$

${\underline {i}}={\sqrt {2}}{\underline {I_{x}}}e^{j\omega t}$,

където подчертаването изразява комплексен вид (може и с точка над величината), $j={\sqrt {-1}}$, a $\omega$ кръговата честота на синусоидалните величини. Две от ураненията представени по-горе се записват в комплексен вид:

$-{\frac {\partial {\underline {U_{x}}}}{\partial x}}=(R'+j\omega L'){\underline {I_{x}}}={\underline {Z'}}{\underline {I_{x}}}$

$-{\frac {\partial {\underline {I_{x}}}}{\partial x}}=(G'+j\omega C'){\underline {U_{x}}}={\underline {Y'}}{\underline {U_{x}}}$

След диференциране по $x$ се получава:

$-{\frac {\partial ^{2}{\underline {U_{x}}}}{\partial x^{2}}}={\underline {Z'}}{\frac {\partial {\underline {I_{x}}}}{\partial x}}$

или

${\frac {\partial ^{2}{\underline {U_{x}}}}{\partial x^{2}}}={\underline {Z'}}{\underline {Y'}}{\underline {U_{x}}}=\gamma ^{2}{\underline {U_{x}}}$

$\gamma ={\sqrt {{\underline {Z'}}{\underline {Y'}}}}=\alpha +j\cdot \beta$

Величината $\gamma$ се нарича константа на разпространение. Решението на уравнението ${\frac {\partial ^{2}{\underline {U_{x}}}}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}{\underline {U_{x}}}$ е:

${\underline {U_{x}}}={\underline {U_{1}}}e^{-\gamma x}+{\underline {U_{2}}}e^{\gamma x}$

За тока се получава:

${\underline {I_{x}}}=-{\frac {1}{Z'}}{\frac {\partial {\underline {U_{x}}}}{\partial {x}}}$

или

${\underline {I_{x}}}={\frac {\gamma }{\underline {Z'}}}{\underline {U_{1}}}e^{-\gamma x}-{\frac {\gamma }{\underline {Z'}}}{\underline {U_{2}}}e^{\gamma x}$

Въвежда се величината:

${\underline {Z_{w}}}={\frac {{\underline {Z}}'}{\gamma }}={\frac {R'+j\omega L'}{\sqrt {(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}}}={\sqrt {\frac {R'+j\omega L'}{G'+j\omega C'}}}$

Така за тока се получава:

${\underline {I_{x}}}={\frac {\underline {U_{1}}}{\underline {Z_{w}}}}e^{-\gamma x}-{\frac {\underline {U_{2}}}{\underline {Z_{w}}}}e^{\gamma x}$

Величината ${\underline {Z_{w}}}$ има размерност на съпротивление и се нарича вълново съпротивление на линията.

Нека в началото на проводника (x=0) напрежението и тока са съотетно ${\underline {U_{0}}}$ и ${\underline {I_{0}}}$, тогава за тока и напрежението в произволна точка x по дължината на линията се получава:

${\underline {U_{x}}}={\underline {U_{0}}}\cosh {\gamma x}-{\underline {Z_{w}}}{\underline {I_{0}}}\sinh {\gamma x}$

${\underline {I_{x}}}={\underline {I_{0}}}\cosh {\gamma x}-{\frac {\underline {U_{0}}}{\underline {Z_{w}}}}\sinh {\gamma x}$

Относно ${\underline {U_{0}}}$ и ${\underline {I_{0}}}$ решенията са:

${\underline {U_{0}}}={\underline {U_{x}}}\cosh {\gamma x}+{\underline {Z_{w}}}{\underline {I_{x}}}\sinh {\gamma x}$

${\underline {I_{0}}}={\underline {I_{x}}}\cosh {\gamma x}+{\frac {\underline {U_{x}}}{\underline {Z_{w}}}}\sinh {\gamma x}$

Ако са дадени напрежението и тока на края на линията, съответно ${\underline {U_{a}}}$ и ${\underline {I_{a}}}$, то уравненията са:

${\underline {U_{x}}}={\underline {U_{a}}}\cosh {\gamma x}+{\underline {Z_{w}}}{\underline {I_{a}}}\sinh {\gamma x}$

${\underline {I_{x}}}={\underline {I_{a}}}\cosh {\gamma x}+{\frac {\underline {U_{a}}}{\underline {Z_{w}}}}\sinh {\gamma x}$

Видове електропреносни линии

1) Линия без загуби

$R'=0,G'=0$

Вълнов импеданс

$Z_{w}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}},[\Omega ]$

Константа на разпространение (равна на фазовата константа $j\beta$)

$\gamma =j\beta =j\omega {\sqrt {L'C'}},\alpha =0$

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

$V_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {L'C'}}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}},[m/s]$

2) Линия без деформации

Към този клас могат да се определят електропроводните линии за пренасяне на електроенергия. При тези линии се приема, че импеданса $Z_{w}$ и константата на затихване $\alpha$ на линията (параметрите на линията) не зависят от честотата, т.е. електромагнитната вълна се разпространява без изкривявания (деформации).

За такава линия е в сила следната зависимост:

${\frac {R'}{L'}}={\frac {G'}{C'}}$

Вълнов импеданс

$Z_{w}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}},[\Omega ]$

Константа на разпространение

$\gamma =\alpha +j\beta =R'{\sqrt {\frac {C'}{L'}}}+j\omega {\sqrt {L'C'}}$

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

$V_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {L'C'}}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}},[m/s]$

Обща форма на телеграфното уравнение

Телеграфното уравнение (независимо от разглежданите величини) е частно диференциално уравнение (при $C_{2}>0$ хиперболично, при $C_{2}<0$ елиптично и при $C_{2}=0$ параболично) и има следния най-общ вид:

$\Delta {\vec {F}}=C_{2}{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+C_{1}{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+C_{0}{\vec {F}}$.

В тази си форма то представя редица явления от физиката описвани с подобни уравнения (по специални случаи на телграфното уравнение: Вълново уравнение, Дифузно уравнение, Уравнение на Хелмхолц, Потенциално уравнение) и се използва най-общо в много задачи от физиката и инженерни изчисления.

Източници

• Eugen Philippow, Karl Walter Bonfig, Wolf-Jürgen Becker. Grundlagen der Elektrotechnik. Verlag Technik Berlin, 2000.
• Nathan Ida. Engineering Electromagnetics. Springer, 2004.