Сигма-алгебра

В математиката и по-специално в теорията на мярката, $\sigma$-алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество $X$ представлява непразна система $\Sigma$ от подмножества на $X$, която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи. Наредената двойка $(X,\Sigma )$ се нарича измеримо пространство.

Дефиниция

Нека $X$ е множество. Множеството $\Sigma$, елементите, на което са подмножества на $X$, се нарича $\sigma$-алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1. $\emptyset \in \Sigma$

2. за всяко множество $E\in \Sigma \Rightarrow X\setminus E\in \Sigma$ (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)

3. за всяка редица $(E_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ от елементи на $\Sigma$ множеството $\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}$ е също елемент на $\Sigma$ (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията

От точки 1 и 2 следва, че $X\in \Sigma$, а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: $X\setminus (\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n})=\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\setminus E_{n})$, т.е. $\Sigma$ е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства

Ако ${\mathcal {A}}$ e фамилия от $\sigma$-алгебри, то тогава нейното сечение

$\cap {\mathcal {A}}:=\{E\in {\mathfrak {P}}(X):\forall \Sigma \in {\mathcal {A}}(E\in \Sigma )\}$

е отново $\sigma$-алгебра. Ако $\Sigma$ e $\sigma$-алгебра върху $X$ и $Y$ е подмножество на $X$, то тогава рестрикцията

$\Sigma _{Y}:=\{E\cap Y:E\in \Sigma \}$

е $\sigma$-алгебра върху Y.

Породена $\sigma$-алгебра

Нека ${\mathfrak {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)$ бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество $X\neq \emptyset$. Тогава чрез ${\mathfrak {E}}$ може да се формира специална $\sigma$-алгебра, наречена $\sigma$-алгебра породена от ${\mathfrak {E}}$. Бележи се със $\sigma ({\mathfrak {E}})$ и се дефинира по следния начин : Нека ${\mathcal {A}}$ бележи фамилията от $\sigma$-алгебри върху $X$ и нека $\mathbb {A} :=\{\Sigma \in {\mathcal {A}}:{\mathfrak {E}}\subseteq \Sigma \}$, т.е. $\mathbb {A}$ представлява фамилия от всички $\sigma$-алгебри, които съдържат ${\mathfrak {E}}$ като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

$\sigma ({\mathfrak {E}}):=\bigcap _{\Sigma \in \mathbb {A} }^{}\Sigma$

е $\sigma$-алгебра. Тя е най-малката $\sigma$-алгебра, на която ${\mathfrak {E}}$ е подмножество.

Борелова сигма-алгебра

Нека ${\mathfrak {O}}_{n}$ обозначава системата от отворените подмножества на $\mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {N}$. Тогава

${\mathfrak {B}}_{n}:=\sigma ({\mathfrak {O}}_{n})$

се нарича борелова $\sigma$-алгебра върху $\mathbb {R} ^{n}$. Елементите на ${\mathfrak {B}}_{n}$ се наричат борелови множества.

Примери

• Най-малката $\sigma$-алгебра e множеството от подмножвества {$\emptyset ,X$} на $X$, а най-голямата е булеанът ${\mathfrak {P}}(X)$.
• $\Sigma =\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}$ e сигма-алгебра върху $X=\{1,2,3,4\}$.
• В контекста на теорията на вероятностите, системата ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}(\Omega )$ от подмножества на пространството на елементарните събития $\Omega$ представлява $\sigma$-алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на ${\mathfrak {A}}$ се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху ${\mathfrak {A}}$, наредената тройка $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)$ се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра

• За $X:=\{0,1,2,3\}$ и ${\mathfrak {E}}=\{\{2\},\{0,1,2\}\}$ следва

$\sigma ({\mathfrak {E}})=\{\emptyset ,\{2\},\{3\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}$.

Външни препратки

• Чернова Н.: Теория вероятностей, 1 курс ЭФ, отделение экономики, § 1.

Литература

Енциклопедични статии:

• Сазонов В.: Алебра множеств в Математическая энциклопедия, том 1 (с допълнителна литература)

Учебници и монографии:

• Floret, K.: Maß- und Integrationstheorie, Teubner
• Srivastava S.: A Course on Borel Sets, Springer, Berlin, 1998, ISBN 0-387-98412-7
• Elstrodt J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 2009, ISBN 3-540-89727-5
• Окстоби Дж.: Мера и категория, Мир, 1974
• Артамонов В.А. и др.: Общая алгебра, том 2, Москва, 1991