Олоид

Олоидът е триизмерно геометрично тяло, открито и патентовано от германския скулптор, математик и изобретател Паул Шац през 1929 година. Представлява минималната изпъкнала обвивка на две еднакви окръжности, поставени една спрямо друга в две перпендикулярни равнини и споделящи точно един общ радиус. По този начин, центърът на всяка от двете окръжности лежи върху другата окръжност и разстоянието между двата центъра е точно дължината на радиуса им. Освен това, една трета от всяка от окръжностите принадлежи на вътрешността на олоида, докато останалите две трети от двете окръжности формират ръбовете му.

Лице на повърхнината и обем

Лицето на повърхнината на олоид се дава по формулата:^[1]

\!A=4\pi r^{2}

което е точно колкото лицето на повърхнината на сфера със същия радиус. Ограденият от повърхнината на олоида обем се равнява на ^[1]^[2]

{\frac {2}{3}}\left(2E\left({\frac {3}{4}}\right)+K\left({\frac {3}{4}}\right)\right)r^{3}

,

където K и E означават пълните елиптични интеграли от първи и втори род, съответно. С числено смятане се получава:

\!V\approx 3.0524184684r^{3}

Кинетика

Видео на търкалящ се олоид в Техническия музей в Мюнхен

Повърхнината на олоида е развиваема повърхнина. Докато се търкаля, тялото прави разгъвка на пълната си повърхнина, т.е. всяка точка от олоида в някакъв момент от време докосва равнината, върху която той се търкаля.^[1] За разлика от повечето осево симетрични тела (като цилиндъра, сферата и др.), при търкаляне върху равнина, центърът на тежестта на олоида извършва движение по лъкатушеща, вместо по права линия. На всеки цикъл на търкаляне разстоянието между центъра на тежестта на олоида и равнината варира между два минимума и два максимума. Разликата между минимум и максимум се изчислява по формулата:

\Delta h=r({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{3}{\frac {\sqrt {3}}{8}})\approx 0.0576r

където r е радиусът на дефиниращите олоида перпендикулярни окръжности. Тъй като така изчислената разлика е сравнително малка, движението на олоида при търкаляне е сравнително гладко.

На всяка точка от търкалянето си олоидът докосва равнината с една своя отсечка (линеен сегмент) от повърхността. Дължината на тази отсечка е постоянна по време на цялото движение, и се задава чрез:^[1]^[3]

\!l={\sqrt {3}}r

Свързани форми

Сферикон е минималната изпъкнала обвивка на две полуокръжности с общ център, разположени една спрямо друга в перпендикулярни равнини. Повърхнината на сферикона се състои от части на четири еднакви конуса (чиято височина е равна на радиуса на основата). Сфериконът прилича на олоида и – също като него – при търкаляне се явява развиваема повърхнина. „Екваторът“ му е квадрат с четири върха – за разлика от олоида, който има два ръба, но не и върхове.

Източници

↑ ^а ^б ^в ^г Dirnböck, Hans, Stachel, Hellmuth. The development of the oloid. Journal for Geometry and Graphics. Т. 1. 1997. с. 105–118..
↑ OEIS A215447, OEIS A215447
↑ Motion of the Oloid-toy // Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference, 24–29 юли 2011, Rome, Italy. 2011. Архив на оригинала от 2013-12-28 в Wayback Machine..

Външни препратки

Общомедия

Общомедия разполага с мултимедийно съдържание за

Олоид.

[development-1] а ^б ^в ^г Dirnböck, Hans, Stachel, Hellmuth. The development of the oloid. Journal for Geometry and Graphics. Т. 1. 1997. с. 105–118..

[2] OEIS A215447, OEIS A215447

[3] Motion of the Oloid-toy // Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference, 24–29 юли 2011, Rome, Italy. 2011. Архив на оригинала от 2013-12-28 в Wayback Machine..

[1]

[2]

[3]