Неравенството на Карамата, наречено на сръбския математик Йован Карамата, още известно като мажорационно неравенство, е теорема от елементарната алгебра.
Ако е дадена функция
, изпъкнала в интервала
, тогава за всеки две мажориращи се редици
е изпълнено:
![{\displaystyle f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8f6b3b36b6eaa87ee8c5a117c4b30cdd7a2602)
Доказателство:
Първо нека положим
, което поради изпъкналостта на функцищта
и мажорирането на редиците
и
, образува ненамаляваща редица. Тоест
![{\displaystyle c_{i}\geq c_{i+1}\Leftrightarrow {\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}}}\geq {\frac {f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8dab4c7d1c399636a2f54093a307d7ef0e2de7)
Това следва последователно от
за
, което е дефиницията за изпъкналост. Тогава от факта, че
и
, се получава
![{\displaystyle {\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}}}\geq {\frac {f(y_{i})-f(x_{i+1})}{y_{i}-x_{i+1}}}\geq {\frac {f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060e0b817cb766b76e110ea140187a5a8eb0593d)
Полагаме
и
за
и заради мажорирането
за
и
.
В такъв случай
, което очевидно е по-голямо от 0.
Ако вместо
използваме редицата
, ще получим неравенството на Йенсен.