Модул (теория на пръстените)

Вижте пояснителната страница за други значения на Модул.

В теория на пръстените модул над пръстен $R\,$ или $R\,$ -модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и Абелева група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.

Формални определения

Нека $R\,$ е комутативен пръстен с единица $1_{R}\,$ (елементите на $R\,$ наричаме скалари) и $M\,$ е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). $M\,$ ще наричаме $R\,$ -модул, ако на всеки елемент $r\in R$ и на всеки елемент $x\in M$ се съпоставя елемент $ax\in M$ (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми $(r,s\in R;x,y\in M)$ :

$r(x+y)=rx+ry\,$
$(r+s)x=rx+sx\,$
$(rs)x=r(sx)\,$
$1_{R}x=x\,$ .

Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако $R\,$ не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно ${}_{R}\!M$ и $M_{R}\,$ ), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.

Подмодул на $M\,$ ще наричаме всяка подгрупа $N\,$ на $M\,$ , затворена относно скаларното умножение. Тъй като групата на M е абелева, то N е нормална подгрупа и са възможни конструкции като факторизация.

Анулатор на $M\,$ ще наричаме множеството ${\textrm {Ann}}M=\{r\in R\ |\ rM=0\}$ . За разлика от линейни пространства, където $\lambda V=0$ е изпълнено единствено при $\lambda =0$ или $V=\{0\}$ , тоест в ненулево пространство ${\textrm {Ann}}V=\{0\}$ , то при модулите са възможни аномалии, при които ненулев скалар и ненулев вектор дават 0 при скаларно умножение. Например, в модула от остатъци по модул n над пръстена от целите числа $\mathbb {Z}$ , за всеки елемент ${\overline {r}}\in \mathbb {Z} _{n}$ е изпълнено, че $n\cdot {\overline {r}}={\overline {0}}$ , и ${\textrm {Ann}}M=n\mathbb {Z}$ .

Примери

Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
Всяка абелева група е $\mathbb {Z}$ -модул, където умножението с число n се дефинира като n-кратното събиране на елемент със себе си при n>0, като при n<0 се взима обратният елемент на този сбор.
Всеки идеал и всеки факторпръстен, на даден пръстен $R\,$ , е $R\,$ -модул.
Множеството от всички векторни полета върху гладкото многообразие $X\,$ образува модул над $C^{\infty }(X)$ (пръстена на гладките функции действащи от $X\,$ върху $\mathbb {R}$ ).

Видове модули

Свободен модул е директна сума $R^{n}=R\oplus \cdots \oplus R$ на n копия на $R\,$ .
Цикличен модул е модул, породен от един елемент.
Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида $x=r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n},\ x_{1},...,x_{n}\in M,\ r_{1},...,r_{n}\in R$ . Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул $R^{n}\,$ , $n\in \mathbb {N}$ .
Точен модул е модул, за който ${\textrm {Ann}}M=(0)\,$ .
Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули, различни от нулевия и самия себе си.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.