Магически квадрат

Магически квадрат в математиката и комбинаториката се нарича таблица n×n (с n на брой клетки във всеки ред и колона), запълнена с n² естествени числа (1, 2, 3, … n²), присъстващи само по веднъж, по такъв начин, че всеки ред, колона, както и двата диагонала, да правят една и съща сума (наричана „магическа константа“). Според четността на страната му n магическите квадрати се делят на четни и нечетни. Магическият квадрат е частен случай на латинския квадрат.

История

Най-старото описание на магически квадрат идва от Древен Китай, датирано е около 80 г. пр.Хр., но вероятно задачата е от много преди това. Пъзелът се нарича „хау ту“ и се състои от клетки в квадрат 3×3, запълнени с числата от 1 до 9, като сборът от всеки три числа в един ред, колонка или диагонал е точно 15.^[1]

Изображения на магически квадрати са намирани и в Индия, като най-старите са отнесени към 1 век. Популярни за индуските паметници са квадратите 4×4, където магическата константа е 34.^[2]

Свойства

Главното свойство на магическия квадрат без значение от неговата големината е еднаквата сума на числата в редовете, колоните и диагоналите. Това свойство се запазва и при следните действия:

Завъртането около центъра.
Хоризонтално, вертикално или диагонално обръщане.
Добавянето на, изваждането от или умножението с произволно число.

Вариантите за магически квадрат със страна n равна на 1, 2, 3, 4 и 5 (без завъртания и обръщания) са съответно 1, 0, 1, 880, 275 305 224 (последователност A006052 в OEIS). Не съществува магически квадрат със страна 2. Вариантите за магически квадрат със страна 6 се изчисляват приблизително на 1,7745×10¹⁹.^[3]

Магическа константа

Магическата константа е сумата на числата във всеки ред, колона и диагонал на магическия квадрат. Нейната стойност се изчислява по формулата $n\cdot {\frac {n^{2}+1}{2}}$ , където n е страната на магическия квадрат.

3×3

Има само един начин за подредба на числата от 1 до 9 в квадрат 3×3, като чрез завъртане (4 варианта) и огледалните им варианти (по 2) дават общото количество от 8 варианта. Числото 5 винаги е в средата, като така участва в средните колона и ред, както и в двата диагонала. Останалите по четири броя числа по-малки и по-големи от 5, взаимно се компенсират, за да се получи сумата 15 (1 с 9, 2 с 8, 3 със 7, 4 с 6).

8	1	6
3	5	7
4	9	2

4	3	8
9	5	1
2	7	6

2	9	4
7	5	3
6	1	8

6	7	2
1	5	9
8	3	4

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2	7	6
9	5	1
4	3	8

6	1	8
7	5	3
2	9	4

8	3	4
1	5	9
6	7	2

4×4

2	16	13	3
11	5	8	10
7	9	12	6
14	4	1	15

При магическия квадрат 4×4 магическата константа е 34, като числата във всеки съставящ го подквадрат 2×2, както и в централния квадрат 2×2, отново имат сума 34. Също и сборът от четирите ъглови клетки е 34.

Приноси

Албрехт Дюрер (1471 – 1528) в гравюрата си „Меланхолия I“ рисува магически квадрат 4×4, който съдържа в двете долни полета „1514“ – годината, когато е създадена творбата. Двете крайни долни полета 4 и 1 се свързват с инициалите на Албрехт Дюрер – 4-тата и първата буква „D“ и „A“. Това е най-старата запазена творба в европейското изкуство, съдържаща магически квадрат. Квадратът е свързан с Юпитер и целта му е да победи меланхолията.

Върху една от фасадите на Саграда Фамилия в Барселона, концептуализирана от Антони Гауди (1852 – 1926), има вариант на магически квадрат 4×4. Квадратът е хоризонтално и вертикално обърнато копие на „Меланхолия I“ на Дюрер, на който от 4 клетки е извадено 1, за да може магическата константа да е 33 - Христовата възраст.

Галерия

Известни магически квадрати
Магически квадрат 4×4 от храма Паршваната (Индия), 12 век
Желязна плоча с магически квадрат 6×6, династия Юен (1271 – 1368)
9×9 от 1593 г. на китайския математик Ченг Дауей (1533 – 1606)
6×6, арабски манускрипт от 16 век
Страница от Oedipus Aegyptiacus (1653) на Атанасий Кирхер
Симон де ла Лубер и неговото изследване върху историята на кралство Сиам, 1693 г.
Четирите варианта на 3×3, индуски манускрипт от 19 век