Крива на Вивиани

Кривата на Вивиани е пространствена алгебрична крива, която се получава при пресичането на цилиндър със сфера. Кривата е наречена на ученика на Галилей, Винченцо Вивиани, който я е изучавал през 1692 г., макар че преди това кривата е разглеждана и от Жил де Робервал (1666) и от Антоан де Лалубер (1660).

Уравнения

Нека сферата е зададена с уравнението в декартови координати $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\;$ , където радиусът ѝ е $2a$ , а центърът ѝ съвпада с координатното начало (0,0,0). Нека цилиндърът е зададен с уравнението $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\;$ с радиус $a$ и центърът му е в точката (a,0,0).

Тогава, при решаване на x и y като функции на z, получаваме:

x=2a-{\frac {z^{2}}{2a}},y=\pm {\frac {z}{2}}{\sqrt {4-{\frac {z^{2}}{a^{2}}}}}

.

Кривата още се дефинира и с параметричните си уравнения:

x=a(1+\cos t),y=a\sin t,z=2a\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)

за t ∈ (-2π, 2π).

Тези формули обуславят и трите проекции на кривата върху координатните равнини:

Върху равнината XY проекцията е окръжност;
Върху равнината XZ проекцията е сегмент от парабола;
Върху равнината YZ проекцията е самопресичаща се крива от рода на лемнискатата на Бернули.

Външни препратки