Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.
От информацията за вектори знаем че векторът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното Евклидово пространство.
- А(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).
![{\displaystyle {\vec {A}}=a1.{\vec {e}}1+a2.{\vec {e}}2+a3.{\vec {e}}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38389567528f9fcbe06e7ce2ae448d23c886e2bc)
- Можем да запишем горното равенство за по-просто:
![{\displaystyle A=a1e_{1}+a2e_{2}+a3e_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1178fd7c8b0637d9c9be5dec19be4c5c2bfa91)
- (е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.
- Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3'), то координатите на вектора ще се променят съответно в А' (а1', а2', а3').
Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.
Нека да е зададена тримерна координатна система K с линейно независими вектори
търсим ново представяне спрямо различна координатна система K' представена с линейно независими вектори
.
Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.
Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:
– Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре – за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.
![{\displaystyle A=a^{1}e_{1}+a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}=\sum _{i=1}^{3}a^{i}e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca2b23f1037eb6f670c9f7425818e54973c113c)
- В системата К'
![{\displaystyle {\bar {A}}={\bar {a}}^{1}{\bar {e}}_{1}+{\bar {a}}^{2}{\bar {e}}_{2}+{\bar {a}}^{3}{\bar {e}}_{3}=\sum _{i=1}^{3}{\bar {a}}^{i}{\bar {e}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1044eb5b2d221bba894f57a901aadf05f57882e)
Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:
![{\displaystyle {\bar {e}}_{1}=S_{1}^{1}e_{1}+S_{1}^{2}e_{2}+S_{1}^{3}e_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02818ae3e1ccfac3f1ce4bb57f7b4fc369ad4bd)
![{\displaystyle {\bar {e}}_{2}=S_{2}^{1}e_{1}+S_{2}^{2}e_{2}+S_{2}^{3}e_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4356aae89a869b8face7de5911a174b4eaaf13a)
![{\displaystyle {\bar {e}}_{3}=S_{3}^{1}e_{1}+S_{3}^{2}e_{2}+S_{3}^{3}e_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ac24844d11087a400c304bac04af36dca1bf67)
Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'.
Скаларната матрица
определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включително базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.
По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:
![{\displaystyle e_{1}=T_{1}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{1}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{1}^{3}{\bar {e}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4883e7382faafdae713a5a42a7bc24c1391d184)
![{\displaystyle e_{2}=T_{2}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{2}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{2}^{3}{\bar {e}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727befecde519e8b286f349b593374c7f7ae18f7)
![{\displaystyle e_{3}=T_{3}^{1}{\bar {e}}_{1}+T_{3}^{2}{\bar {e}}_{2}+T_{3}^{3}{\bar {e}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1e12f972c02c754dffa265ef9e900e475b568a)
Матрицата
ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.
Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:
(2.1)
Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3)
Полагаме:
И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:
Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:
Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.
В сила са следните трансформационни правила:
(2.2)
-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.
Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:
![{\displaystyle {\bar {A}}=TA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23b45b332b6bf5f9b52b9aeca7547aca2865a53)
![{\displaystyle A=S{\bar {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429f195df3f870d905235fb4b925e91bcc3e118d)
![{\displaystyle S=T^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d49282a5531b659a38b1356971609243c8620c)
За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:
![{\displaystyle {\begin{Vmatrix}{\bar {e}}_{1}\\{\bar {e}}_{2}\\{\bar {e}}_{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}S_{1}^{1}&S_{1}^{2}&S_{1}^{3}\\S_{2}^{1}&S_{2}^{2}&S_{2}^{3}\\S_{3}^{1}&S_{3}^{2}&S_{3}^{3}&\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{Vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59826404cd9019eb51430f7c81809b25ab4ee13d)
- В съкратена матрична форма:
![{\displaystyle {\bar {E}}={\begin{Vmatrix}{\bar {e}}_{1}\\{\bar {e}}_{2}\\{\bar {e}}_{3}\end{Vmatrix}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ae9fd502101dd04b9070b9474c15a554eccd8e)
![{\displaystyle E={\begin{Vmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{Vmatrix}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35698d322af6cd42e884a4d5ea9689ad2c09db2e)
![{\displaystyle S={\begin{Vmatrix}S_{1}^{1}&S_{1}^{2}&S_{1}^{3}\\S_{2}^{1}&S_{2}^{2}&S_{2}^{3}\\S_{3}^{1}&S_{3}^{2}&S_{3}^{3}&\end{Vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe06944e1e1415e853fb715c852dc3d38803cc9)
![{\displaystyle {\bar {E}}=SE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9249e7de576a7b77fa747564bb445aea9af37a0)
![{\displaystyle E=T{\bar {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f3a45ceec3db43f36d7bd79717999cadc52164)
Сега вече можем да дадем дефиниция:
Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3), за който са сила трансформационните правила:
![{\displaystyle {\bar {a}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}T_{i}^{j}a^{i}{\bar {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7088c1b714969226da33e9b4af04e37fc11e19)
![{\displaystyle a^{i}=\sum _{j=1}^{3}S_{j}^{i}a^{j}{\bar {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e43e7d3b8b97bca546dc9d6eb52acf76449f585)
Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите.
Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното:
Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна конверсия.
- Английската и руската версии на Уикипедия
- „Теоретическа физика“ – Л.Д.Ландау, Лифшиц