Елипсоид на Якоби

Елипсоидът на Якоби е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна ъглова скорост. Този елипсоид има три различни по дължина оси и носи името на немския математик Карл Густав Якоб Якоби^[1]

История

Преди Якоби, определеният през 1742 г. от Маклорен сфероид е бил считан за единствения тип елипсоид, който да е равновесен^[2]^[3]. През 1811 г. Жозеф Луи Лагранж ^[4] разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да са равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установява, че доказаното от Лагранж е само достатъчно, но не и необходимо условие. Той отбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури в равновесие дори при ограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси могат също да са равновесни; може да се приеме елипса с произволна форма на екваториалното сечение и да се изчислят третата най-малка ос и ъгловата скорост на въртене така, че елипсоидът да бъде в равновесие." ^[5]

Формула на Якоби

Екваториални (a, b) и полярна (c) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания момент на импулса, при условие, че *abc* = 1 (т.е. за постоянен обем от 4π/3).
Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той притежава динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, ако енергията се разсее, например при вискозен флуид.

За елипсоид с полу-главни оси $a,\ b,\ c$ a, b, c ъгловата скорост $\Omega$ относно оста $z$ се дава с израза

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}=2abc\int _{0}^{\infty }{\frac {udu}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}\ ,\quad \Delta ^{2}=(a^{2}+u)(b^{2}+u)(c^{2}+u),

където $\rho$ е плътността и $G$ е гравитационната константа, като се удовлетворява условието

a^{2}b^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}=c^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(c^{2}+u)\Delta }}.

За фиксирани стойности на $a$ и $b$ , горното условие има решение за c:

{\frac {1}{c^{2}}}>{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли. ^[6] Ако се използва симетричната форма на Карлсон R_J за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}(a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))

и условието за относителния размер на полу-главните оси $a,\ b,\ c$ е

{\frac {2}{3}}{\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}(R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))={\frac {2}{3}}c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).

Моментът на импулса $L$ на елипсоида на Якоби се дава от израза

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{{\bar {a}}^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(abc)^{1/3},

където $M$ е масата на елипсоида а ${\bar {a}}$ е средният радиус, радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.

Източници

↑ Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.
↑ Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal figures of equilibrium (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.
↑ Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.
↑ Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sect. IV 2 vol.
↑ Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.
↑ Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.

Вижте също

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Jacobi ellipsoid в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.

[1] Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.

[2] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal figures of equilibrium (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.

[3] Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.

[4] Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sect. IV 2 vol.

[5] Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.

[6] Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]