Елипса

Тази статия е за геометричната крива. За стилистичния похват вижте Елипса (литература).

Елипса (от гр. έλλειψη – липса) в геометрията е геометрично място на точки M, за които сумата от разстоянията до две дадени точки $F_{1}$ и $F_{2}$ (наречени фокуси) е постоянна, т.е.

|F_{1}M|+|F_{2}M|=C.

Окръжността е частен случай на елипса, когато двата фокуса съвпадат.

Разстоянието $|F_{1}F_{2}|$ се нарича фокусно разстояние, а отношението $\epsilon =|F_{1}F_{2}|/C$ – ексцентрицитет.

Ексцентрицитетът характеризира разтеглеността на елипсата – колкото ексцентрицитетът е по-близък до 0, толкова повече елипсата наподобява окръжност, и обратното – колкото ексцентрицитетът е по-близък до 1, толкова тя е по-издължена.

Елипсата е вид конично сечение: ако един конус бъде пресечен от равнина, която не пресича основата на конуса и не е успоредна на нея, то сечението на конуса и равнината е елипса.

Частта от правата, минаваща през двата фокуса и ограничена от елипсата, се нарича голяма ос. Голямата ос е най-дългата отсечка, която свързва 2 точки от елипсата. Правата, която минава през центъра (по средата между фокусите) и сключва прав ъгъл с голямата ос, се нарича малка ос. Голямата полуос е половината от голямата ос. Аналогично малката полуос е половината от малката ос.

Параметрично уравнение на елипса

Размерът на елипсата се определя от две константи, условно означени с a и b, където a е дължината на главната полуос, а b – на малката полуос.

Елипса, чийто център е в началото на координатната система Oxy и е с главна ос по оста x, се определя от каноничното уравнение

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Следващата графика демонстрира питагоровата теорема a² = b² + c² като частен случай на долното непараметрично уравнение за (x = 0, y = b).

Същата елипса може да бъде представена чрез параметричните уравнения:

x=a\,\cos t

y=b\,\sin t

0\leq t<2\pi

където се използват тригонометричните функции синус и косинус.

Ако елипсата не е с център началото на координатната система, но отново главната ѝ ос е по оста x, тя може да бъде описана с уравнението

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1

където (h,k) са координатите на центъра.

Ексцентрицитет

Формата на елипсата се изразява с число, наречено ексцентрицитет на елипсата, означавано с e. Ексцентрицитетът се свързва с a и b чрез равенството

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

където $c$ (линейният ексцентрицитет на елипсата) е равен на разстоянието от центъра до който и да е от фокусите.

e={\frac {c}{a}}

Ексцентрицитетът е положително число между 0 (в частния случай на окръжност) и 1.

Колкото е по-голям ексцентрицитетът, толкова е по-голямо отношението на a към b и следователно елипсата е по-издължена.

Разстоянието между фокусите е 2ae.

Параметър(фокална полухорда) и полярни координати

Отсечката от фокуса на елипсата до самата елипса, перпендикулярна на главната ос, се нарича параметър (фокална полухорда) на елипса (бележи се с l). Връзката между него и a и b се изразява чрез формулата al = b².

Елипса, на която единият от фокусите е в центъра на координатната система, а другият лежи върху отрицателната част на абсцисата, се разглежда в полярни координати с помощта на следното уравнение:

r(1+e\cos \theta )=l\,

Елипсата може да бъде разглеждана и като проекция на окръжност върху равнина, наклонена под ъгъл φ спрямо хоризонтална равнина, проектирана перпендикулярно върху нея. Тази проекция ни дава елипса с ексцентрицитет sin φ при φ различно от 90°.

Лице

Лицето на фигурата, заключена от елипсата, е $S=\pi$ a b, където $\pi$ е Архимедовата константа.

Обиколка

Обиколката на елипсата е 4aE(e), което не може да бъде изразено с проста функция. E в случая е пълен елиптичен интеграл от втори род.

Точното решение за изразяване на обиколката на една елипса е безкраен ред:

c=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,

Добро приближение, дадено от Рамануджан:

c\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,

където a и b са съответно голямата и малката полуос.

Горното може да бъде записано и като:

c\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,

Свойства като отражател

Ако имаме елипсовидно огледало с източник на светлина в един от фокусите, тогава всички лъчи ще се отразяват към една точка – втория фокус. Тъй като няма друга крива с това свойство, то може да бъде използвано като алтернативна дефиниция на елипса.

Елипсата във физиката

Йохан Кеплер открива, че орбитите, които планетите описват около Слънцето, са с форма на елипса. Това е и първият закон на Кеплер. По-късно Исак Нютон обяснява, че този факт е естествен резултат от неговия закон за всебщото привличане.

Елипсите в компютърната графика

Вижте също

Елипсоид
Сфероид, -елипсоид, получен при въртенето на елипса около някоя от осите ѝ.
Хипербола
Парабола
Орбита

Литература

И. Бронштейн, Эллипс, Квант, № 9, 1970.-на руски