Верижна дроб

Верижна дроб или продължаваща дроб в математиката в общия случай означава израз от вида

x=a_{0}+{\cfrac {b_{0}}{a_{1}+{\cfrac {b_{1}}{a_{2}+{\cfrac {b_{2}}{a_{3}+{\cfrac {b_{3}}{\ddots \,}}}}}}}},

или в обикновения случай при

b_{i}=1

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}},

където $a_{0}$ е цяло число $a_{0}\in \mathbb {Z}$ , а останалите $a_{i}$ и $b_{i}$ са положителни цели числа $a_{i},b_{i}\in \mathbb {N}$ за $i\in \mathbb {N}$ . Числата $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ и $b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},\cdots$ се наричат елементи на верижната дроб.^[1] Дробите ${\tfrac {b_{i}}{a_{i}}}$ и ${\tfrac {1}{a_{i}}}$ се наричат частични дроби, $b_{i}$ се нарича $i$ -ти частичен числител и $a_{i}$ се нарича $i$ -ти частичен знаменател.^[2] Частичните числители и частичните знаменатели също се наричат елементи на продължаващата дроб (след Оскар Перон, 1975).^[3]

Всяко реално число може да бъде представено във вид на верижна дроб (крайна или безкрайна). Числото представлява крайна верижна дроб тогава и само тогава, когато то е рационално. Безкрайната верижна дроб се нарича още непрекъсната дроб.

Главната (но не единствена) полза от верижните дроби се състои в това, че те позволяват да се намерят добри приближения на реални числа във вид на обикновени дроби.^[1] Верижните дроби се използват широко в теорията на числата и изчислителната математика. Използват се също така във физиката, небесната механика, техниката и други сфери. нотация

Обозначаване

Нотации

Използват се различни нотации за обозначаване на верижни дроби.

Съкратеното обозначаване на обща верижна дроб е

a_{0}+{\frac {b_{1}|}{|a_{1}}}+{\frac {b_{2}|}{|a_{2}}}+{\frac {b_{3}|}{|a_{3}}}+\cdots

Въз основа на символите за сума $\sum$ и произведение $\textstyle \prod$ , Гаус също въвежда следната нотация за това:

a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i}}{a_{i}}}\,.

Правилната верижна дроб често се записва по следния начин: ^[4]

[a_{0};a_{1},a_{2},\dotsc ],

тук само $a_{0}$ е посочен отделно, защото е от $\mathbb {Z}$ , но следващите $a_{i}$ са винаги само от $\mathbb {N}$ .

Обозначаването на крайни непрекъснати дроби е съответно

a_{0}+{\frac {b_{1}|}{|a_{1}}}+{\frac {b_{2}|}{|a_{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}|}{|a_{n}}}\,,\quad a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i}}{a_{i}}}\,,\quad [a_{0};a_{1},\dotsc ,a_{n}]\,.

Представяне като композиция от образи

Продължаващата дроб може също да се представи като композиция от образи $T_{i}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . Това дава по-формално определение от даденото по-рано.

За да се направи това, задава се $T_{i}(x)={\tfrac {b_{i}}{a_{i}+x}}$ и се взема

a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i}}{a_{i}}}:=a_{0}+T_{1}\circ T_{2}\circ \cdots \circ T_{n-1}\circ T_{n}(0).

Дефиницията на безкрайни последователни дроби се прави чрез разглеждане на граничните стойности в раздела Безкрайни последователни дроби.

Образуване

Верижната дроб се образува чрез итеративен процес на представяне на число като сбор от неговата цяла част и реципрочна стойност на друго число, след което записването на това друго число като сума от неговата цяла част и друга реципрочна стойност, и така нататък.^[5] В крайна верижна дроб (или прекратена продължителна дроб) итерацията/рекурсията се прекратява след ограничен брой стъпки чрез използване на цяло число вместо друга верижна дроб. При безкрайната верижна дроб този процес продължава и тя е безкраен израз. И в двата случая всички цели числа в редицата, различни от първото, трябва да са положителни.^[6]

Всяко реално число $x$ може да бъде представено чрез (крайна или безкрайна, периодична или непериодична) верижна дроб $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ , където

a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},

\dots

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},

\dots

долните скобки $\lfloor x\rfloor$ обозначават цялата част на числото $x$ .

За рационално число $x$ това разширение завършва, когато $x_{n}$ достигне нула за някои $n$ . В този случай $x$ е представено от крайна продължителна дроб $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ . Един ефективен алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в непрекъсната дроб е алгоритъмът на Евклид. Представянето на рационално число като непрекъсната дроб е двусмислено: ако алгоритъмът, даден тук, дава непрекъснатата дроб $[\dots ,a_{n}]$ , тогава верижната дроб $[\dots ,a_{n}-1,1]$ съответства на същото число.

Като пример се разглежда рационалното число 415/93, което е около 4,4624. Като първо приближение се започва с 4, което е цяло число; 415/93 = 4 + 43/93. Дробната част е реципрочната на 93/43, което е около 2,1628. Използва се цялата част 2 като приближение за реципрочната стойност, за да се получи второ приближение на 4 + 1/2 = 4,5. Сега 93/43 = 2 + 7/43; останалата дробна част 7/43 е реципрочната стойност на 43/7, а 43/7 е около 6,1429. Използва се 6 като приближение за да се получи 2 + 1/6 като приближение за 93/43 и 4 + 12 + 16, около 4,4615, като трето приближение. Освен това, 43/7 = 6 + 1/7. И накрая, дробната част, 1/7, е реципрочната на 7, така че нейното приближение в тази схема 7 е точно (7/1 = 7 + 0/1) и дава точния израз 4 + 12 + 16 + 17 за 415/93.

Подходящи дроби

$n$ -та подходяща дроб за верижната дроб $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ се нарича крайна продължителна дроб $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ , чиято стойност е някакво рационално число $p_{n}/q_{n}$ . Подходящите дроби с четни номера образуват нарастваща последователност, чиято граница е $x$ . По същия начин подходящите дроби с нечетни номера образуват намаляваща последователност, чиято граница също е $x$ . По този начин стойността на верижната дроб винаги е между стойностите на съседни подходящи дроби.

Ойлер е извел следните рекурентни формули за изчисляване на числителите и знаменателите на подходящи дроби:

p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};

q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.

По този начин величините $p_{n}$ и $q_{n}$ са многочлени от $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ , наречени континуанти^[7]:

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).

Последователностите както на числителите $\{p_{n}\}$ , така и на знаменателите $\{q_{n}\}$ на подходящи дроби са строго нарастващи.

Числителите и знаменателите на съседни подходящи дроби са свързани с отношението

$p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.$

(1)

От тук се вижда, че подходящите дроби винаги са несъкратими. Разделя се равенство (1) на $q_{n-1}q_{n}$ и то добива вида

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}}.

От това следва, че ^[8]

\left|x-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q_{n-1}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{n-1}^{2}}}.

Изображението показва как подходящи дроби за златното сечение се доближават до него с увеличаване на номера на дробта. Дробите с нечетни номера се доближават до златното сечение отгоре, дробите с четни номера се доближават до него отдолу.

Източници и бележки

↑ ^а ^б Regular Continued Fraction, Wolfram Mathematics.
↑ В част от литературата $a_{i}$ и $b_{i}$ често се разменят, така че частичните знаменатели са $b_{i}$ .
↑ Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977, S. 1.
↑ Освен посочените тук изписвания има и $a_{0}+{\tfrac {1}{a_{1}+{}}}{\tfrac {1}{a_{2}+{}}}{\tfrac {1}{a_{3}+{}}}\cdots$ (например в „John Horton Conway, Richard Kenneth Guy – The book of numbers. Springer, 1996“), $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc \rangle$ (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) както и $a_{0}+/\!/a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc /\!/$ (z. B. в „Donald Knuth – The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997“).
↑ Encyclopaedia Britannica 2013.
↑ Pettofrezzo Byrkit, с. 150.
↑ Континуанта е определен многочлен от няколко променливи, свързани с верижни дроби.
↑ Виноградов 1952, с. 18.

[wolfram-1] а ^б Regular Continued Fraction, Wolfram Mathematics.

[2] В част от литературата $a_{i}$ и $b_{i}$ често се разменят, така че частичните знаменатели са $b_{i}$ .

[3] Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977, S. 1.

[4] Освен посочените тук изписвания има и $a_{0}+{\tfrac {1}{a_{1}+{}}}{\tfrac {1}{a_{2}+{}}}{\tfrac {1}{a_{3}+{}}}\cdots$ (например в „John Horton Conway, Richard Kenneth Guy – The book of numbers. Springer, 1996“), $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc \rangle$ (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) както и $a_{0}+/\!/a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc /\!/$ (z. B. в „Donald Knuth – The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997“).

[Encyclopaedia_Britannica2013-5] Encyclopaedia Britannica 2013.

[PettofrezzoByrkit150-6] Pettofrezzo Byrkit, с. 150.

[7] Континуанта е определен многочлен от няколко променливи, свързани с верижни дроби.

[Виноградов195218-8] Виноградов 1952, с. 18.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]