Алгоритъм на Евклид

Алгоритъмът на Евклид е алгоритъм за намиране на най-големия общ делител (НОД) на две естествени числа. Той е един от първите публикувани алгоритми. Описан е в книгата на Евклид „Елементи“ около 300 г. пр.н.е.

Теория

Нека $a$ и $b$ са естествени числа и редицата

$a,\,b,\,r_{1}>r_{2}>r_{3}>r_{4}>\cdots >r_{n}$

е определена така, че всяко $r_{k}$ е остатък от делението на пред-предния член на предния член, т.е.

$a=bq_{0}+r_{1}$

$b=r_{1}q_{1}+r_{2}$

$r_{1}=r_{2}q_{2}+r_{3}$

$\cdots$

$r_{n-1}=r_{n}q_{n}$

Тогава $(a,b)$ – най-големият общ делител на $a$ и $b$, е равен на $r_{n}$ – последния ненулев член на редицата.

Верността на алгоритъма следва от съжденията:

• Нека $a=bq+r$, тогава $(a,b)=(b,r).$
• $(0,r)=r$ за всяко ненулево $r.$

Запис с думи

Взимайки двете дадени на входа на алгоритъма числа a и b, провери дали b е равно на 0.

Ако да, числото a е търсеният най-голям общ делител.

Ако не, повтори процеса, като използваш за входни данни b и остатъка, получен при деленето a на b (означаван по-долу с a mod b)

Рекурсивен запис

function gcd(a, b)
  if b = 0
     return a
  else
     return gcd(b, a mod b);

Процедурен запис

// := е оператор за присвояване на стойност
function gcd(a, b)
  while b ≠ 0
    var t := b
    b := a mod b
    a := t
  return a

Във всяка стъпка по-голямото число се заменя с остатъка му от деление на другото число (ако в първата стъпка има 8 и 6, то във втората ще има 2 и 6). Това се повтаря докато едно от двете числа не стане 0. Тогава отговорът е другото число (ако се продължи от предния пример, на третата стъпка числата ще са 2 и 0, от което се разбира, че НОД на 8 и 6 е 2).

Този алгоритъм е по-ефективен от споменатата по-долу негова вариация.

Без използване на деление

function gcd(a, b)
  while a ≠ b
    if a > b
      a := a – b
    else
      b := b – a
  return a

Пример

Най-големият общ делител на числата 1071 и 1029 се пресмята по следния начин:

$1071=1\cdot 1029+42$

$1029=24\cdot 42+21$

$42=2\cdot 21+0$

Следователно търсеният делител е 21.