Векторна проекция

Векторната проекция на вектор на ос $\mathbf {a}$ върху ненулев вектор $\mathbf {b}$ (позната още като компонента на вектора $\mathbf {a}$), често обозначавана с $\mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$, представлява трети вектор, който се получава при ортогонално проектиране на $\mathbf {a}$ върху права, колинеарна на $\mathbf {b}$. Изпълнено е равенството

$\mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{{\Vert \mathbf {b} \Vert }^{2}}}\mathbf {b}$

където $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ представлява скаларното произведение на векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, а с $\Vert \mathbf {b} \Vert$ е отбелязана дължината на вектора $\mathbf {b}$. За произволно реално число $\lambda$ е в сила равенството $\mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\lambda \mathbf {a} =\lambda \mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$.

Самата дължина на векторната проекция се пресмята по формулата

$\Vert \mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} \Vert =\Vert \mathbf {a} \Vert |\cos \sphericalangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|$

Посоката на векторната проекция се определя от това дали ъгълът между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ е остър или тъп. Ако е остър, то скаларното произведение на двата вектора ще е положително число, а оттам – и $\mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} \uparrow \uparrow \mathbf {b}$. С аналогични разсъждения можем да заключим, че ако двата вектора сключват тъп ъгъл помежду си, то $\mathrm {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} \uparrow \downarrow \mathbf {b}$.