Беседа:Равномощни множества

Докато посочвах примери за равномощни множества се замислих върху въпроса, колко е мощно множеството на всички възможни метрики върху $\mathbb {R}$ или $\mathbb {R} ^{2}$. Със сигурност то или е толкова мощно колкото множеството на функциите или колкото множеството на реалните числа. Значи какъвто и да е отговорът ще излезе хубав пример. Аз преполагам, че множеството на метриките е толкова мощно колкото множеството на реалните числа. Според мен би трябвало да се мисли в посока намирене на биекция между множеството на метриките и множеството на монотонните функции. Ако някой има време да помисли малко с мен и да ми помогне в решаването на тази задачка, ще му бъда много благодарен. Интересно е какъв е отговорът за произволни метрични пространства $({\mathcal {X}},d)$ - кога мощността на множеството на метриките върху ${\mathcal {X}}$ е по-малка от $2^{Card({\mathcal {X}})}$ и кога не? Alexandar.R. 18:22, 21 февруари 2007 (UTC)

Тази задача маи е по-банална отколкото мислех: Ако $d(x,y)\,$ е метрика на ${\mathcal {X}}$ то и $(d\star f)(x,y)=d(f(x),f(y))\,$ е метрика, където функцията $f:{\mathcal {X}}\rightarrow {\mathcal {X}}$ e биекция. Сега само трябва да се прeброят класовете на еквивалентност $g\equiv f\Leftrightarrow (d\star f)=(d\star g)\,$.Alexandar.R. 19:54, 21 февруари 2007 (UTC)

Пътят през $(d\star f)\,$ е малко мъчителен. По-лесно е да се дефинира следнoто изображение за всяка метрика $r\,$ и множество ${\mathcal {U}}\subset {\mathcal {X}}$:

$(r,{\mathcal {U}})\rightarrow d_{r,{\mathcal {U}}}(x,y)={\begin{cases}r(x,y)+1{\text{,}}&|\{x;y\}\cap {\mathcal {U}}|=1\\r(x,y){\text{,}}&|\{x;y\}\cap {\mathcal {U}}|\neq 1\end{cases}}$

Множеството $\{d_{r,{\mathcal {U}}}\}_{{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {X}}}$ е равномощно с експонентата на ${\mathcal {X}}$, защото изображението е биективно. Задачата може да се счита за решена. Alexandar.R. 23:23, 21 февруари 2007 (UTC)