Алгебра над поле

Алгебра А над дадено поле F е пръстен, в който допълнително е въведена операция умножение с число (числа, формално, ще наричаме елементите на полето F). Умножението трябва да е съгласувано, т.е. $x(ab)=(xa)b=a(xb),a,b\in F,x\in F$.

Допълнително адитивната група на пръстена е векторно пространство:

$a,b\in A,\ x,y\in F\Rightarrow xa+yb\in A.$

Размерността на векторното пространство се нарича ранг на алгебрата. Алгебрите с краен ранг се наричат още хиперкомплексни системи.

Ако, в допълнение, алгебрата А е пръстен на Ли то тя се нарича алгебра на Ли. Идеалът на пръстена е идеал и за алгебрата, ако е съгласуван с умножението с числата от F.

Ако във факторпръстена А/I е въведено умножение с числа $x\in F$, по закона $x(a+I)=xa+I$, то получената алгебра над F се нарича факторалгебра на А по I.

Примери

• Всяко поле е алгебра над себе си (с ранг 1).
• $\mathbb {R} ^{3}$ е алгерба с въведено събиране на вектори, векторното и скаларното произведение.
• Квадратните матрици с елементи от $\mathbb {C} ,$ заедно с операциите събиране и умножение на матрици и умножение на матрица с комплексно число.
• Алгебрата на кватернионите, която е единствената алгебра над $\mathbb {R}$ с ранг повече от 2.

Литература

• Джекобсон, Алгебры Ли, М., Мир, 1964.[1]
• Станчо Павлов, Октониони – въведение [2] Архив на оригинала от 2014-03-09 в Wayback Machine.