от Уикипедия, свободната енциклопедия
Графика, показваща взаимовръзката между
,
и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число
:
,
- където важи:
- е — основа на натуралния логаритъм,
- i — имагинерна единица,
и
са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер „скъпоценен камък“ и „най-важната формула в цялата математика“ (Feynman, p. 22-10).
Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, тя описва ротация на единичен вектор на ъгъл
.
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини като сред най-елегантните е чрез комплексен интеграл:[1]
Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид.
.
След диференциране и преобразуване, получаваме:
![{\displaystyle dz=d(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98874910917214479aa1890298e2c539a942eef)
![{\displaystyle dz=(-\sin \varphi +i\cos \varphi \!)d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffb6b2b19b214b3bb8102d33955acbbe33db5eb)
![{\displaystyle dz=i(i\sin \varphi +\cos \varphi \!)d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2229dba414a37f36ed6b01be74ff6ce33a564ba)
![{\displaystyle dz=i(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815869d8d58d443f8cc67f84c97b10b59cef6a9c)
![{\displaystyle dz=izd\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83eb3432e475ac64c909b63e9b361b477176fec6)
![{\displaystyle {\frac {dz}{z}}=id\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d36c0e642672275ec1773dec4685a8ac8f3f2c)
![{\displaystyle \int {\frac {dz}{z}}=\int id\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb1ebfb775cc4d6a98a980f15a75199224edec1)
![{\displaystyle \ln z=i\varphi +C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef76303c9d425f763ce4bf42388c71ef47d4933)
![{\displaystyle z=Ae^{i\varphi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ee2620a33a28a59aa9b878c59e6446c4378df3)
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
![{\displaystyle z(0)=A=\cos(0)+i\sin(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e9a3b46028f9816ee2b14b58c47b3bac233529)
и оттук
.
В частния случай, когато
получаваме:
![{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9798af0f569621844a09ae714dd0124d2fe31638)
Ако
и
, следва, че:
а оттук следва, че: