Равнина (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на Равнина.

---

Две пресичащи се равнини в триизмерното пространство.

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлетворяват равенството:

$ax+by+cz+d=0$,

където a, b, c и d са реални числа, и поне едно от a,b и c е различно от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

• три точки, нележащи на една права
• права и точка, нележаща на правата
• точка и права, перпендикулярна на равнината
• две пресичащи се или успоредни прави, също определят една равнина.

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Равнина, определена от точка и нормален вектор

За точката $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ и вектора ${\vec {n}}=(a,b,c)$, уравнението на равнината изглежда така:

$ax+by+cz=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$

за равнината, минаваща през т. $P_{0}$ и перпендикулярна на вектора ${\vec {n}}$.

Равнина, определена от 3 точки

Уравнението на равнина, минаваща през 3 точки $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$, $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ и $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ може да бъде представено по следния начин:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0$

Разстояние от точка до равнина

За точката $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ и равнината $ax+by+cz+d=0$, разстоянието от $P_{1}$ до равнината е:

$D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Ъгъл между две равнини

Ъгълът между равнините $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ и $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ е

$\cos {(\alpha )}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$.